新疆大学╲〞微分几何╲〞课程教学大纲

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1、新疆大学“微分几何”课程教学大纲课程英文名称：DifferentialGeometry课程编号：D052702课程类型：专业选修课程总学时：64学分：3适用对象：数学与系统科学学院数学与应用数学专业本科生（汉）先修课程：《解析几何》、《高等代数》、《数学分析》、《微分方程》使用教材：《微分几何》，北京师范大学梅向明、黄敬之编，高等教育出版社，1988年第二版。参考书：《微分几何讲义》，陈省身、陈维桓，北京大学出版社，1983。《微分几何》，苏步表、胡和生等，高等教育出版社，1983。《整体微分几何初步》，沈一兵，杭州大学出版社，1998。《微分几何讲义》，

2、吴大任，人民教育出版社，1982。一、课程性质、目的和任务微分几何是通过分析中的一些运算去研究几何有关问题，是线性代数，数学分析、微分方程，高等几何等学科的知识的综合运用。微分几何课的目的是使学生能从较浅显的内容去学习近代的几何处理方法，通过分析中的一些运算去研究几何有关问题，从而培养学生的几何直观和图形想象的能力、从具体到抽象的能力。二、教学基本要求通过教学应使学生对空间的曲线和曲面，特别是特殊的曲线与曲面有明晰的空间位置、形状、曲率、挠率的概念，向量分析方法能运用自如，从而达到数与形的统一，统一的数量与空间的唯物辨证观念；能具备空间想象能力，娴熟的分析

3、计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。三、教学内容及要求第一章曲线论教学内容：向量代数复习、向量函数、曲线的概念、空间曲线、特殊曲线教学要求：1.正确理解向量的概念，熟练掌握向量代数的运算。2.正确理解向量函数、向量函数的极限、连续性、微商、泰勒公式、积分的概念，熟练掌握向量函数的运算。3.正确理解曲线、光滑曲线、曲线的正常点、切线和法平面、弧长、自然参数的概念，熟练掌握曲线的切线和法平面、曲线的弧长、曲线的自然参数的运算。4.正确理解空间曲线、空间曲线的密切平面、基本三棱形、空间曲线的曲率、挠率的概念，熟练掌握空间曲线的密切平面、基本三棱形、曲率、挠率的运

4、算，熟记伏雷内公式并能灵活运用。了解空间曲线在一点邻近的结构和空间曲线论的基本定理。5.正确理解特殊曲线、平面曲线、平面曲线的伏雷内标架、曲率、曲率半径、曲率中心及曲率圆的概念，掌握平面曲线的伏雷内公式，了解平面曲线在一点邻近的结构，掌握平面曲线的渐缩线和渐伸线的计算。掌握一般螺线的概念和运算。了解贝特朗曲线的概念和特征。第二章曲面论教学内容：曲面的概念、曲面的第一基本形式、曲面的第二基本形式、直纹面和可展曲面、曲面上的测地线。教学要求：1、正确理解简单曲面及其参数表示、光滑曲面、曲面的切平面和法线、曲面上曲面族和曲线网的概念，熟练掌握曲面的切平面和法线的

5、运算。2、理解曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长、曲面上两方向的交角、正交曲线族和正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换的概念。熟练掌握曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长、曲面上两方向的交角、正交曲线族和正交轨线、曲面域的面积的运算。能判定等距变换和保角变换。3、正确理解曲面的第二基本形式、曲面上曲线的曲率、杜邦指标线、曲面的渐近方向和共轭方向、曲面的主方向和曲率线、曲面的主曲率`高斯曲率和平均曲率的概念。了解曲面在一点邻近的结构、了解高斯曲率的几何意义。熟练掌握曲面的第二基本形式、曲面上曲线的曲率、杜邦指标线、曲面的渐近方向和共轭方向、曲面的主方

6、向和曲率线、曲面的主曲率`高斯曲率和平均曲率的运算。4、正确理解直纹面和可展曲面的概念，熟练掌握直纹面和可展曲面的判定。5、正确理解曲面的基本方程、克里斯托斐耳符号、曲面的黎曼曲率张量的概念。了解高斯科达齐迈因纳尔迪公式，了解曲面论的基本定理，掌握曲面的基本方程和克里斯托斐耳符号、曲面的黎曼曲率张量的计算。6、正确理解曲面上曲线的测地曲率、曲面上的测地线、曲面上的半测地坐标网、极小曲面的概念。了解曲面上测地线的短程性、曲面上向量的平行移动。掌握高斯波涅公式以及极小曲面的判定。7、正确理解常高斯曲率的曲面、伪球面的概念。了解罗氏几何。第三章外微分形式和活动标

7、架（选学）教学内容：外微分形式、活动标架、用活动标架法研究曲面。教学要求：1、正确理解外乘、Grassmann代数的概念，熟练掌握Grassmann代数的运算；正确理解p次外形式、p次外微分形式，掌握Cartan引理、Stokes公式、Poincare引理，了解Frobenius定理、积分曲面、完全可积的概念。2、正确理解空间合同变换、标架、活动标架、相对分量，掌握结构方程、活动标架法。3、掌握用活动标架法研究曲面的基本定理、曲面的第一和第二基本形式、曲面上的曲线、法曲率、测地曲率和测地挠率、曲面的主曲率、欧拉公式、高斯曲率和平均曲率、曲面上向量的平行移动

8、、闭曲面的高斯—波涅公式。四、教学重点与难点重点内容：基本三棱形，