二次根式学习要点精析

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1、http://www.czsx.com.cn二次根式的概念学习要点二次根式是一种特殊的代数式，它在实际生活以及其它科学技术中都有着广泛的应用，为了帮助同学们学好这一知识点，现提醒同学们学习时应注意领会以下几个要点：一、正确理解二次根式的定义同学们已经接触到的象、、…、（a≥0）等式子，这些式子是什么样的一个式子呢？我们把式子（a≥0）叫做二次根式.由此，对于（a≥0）的讨论应注意下面的问题：（1）式子只有在条件a≥0时才叫二次根式.而式子就不是二次根式，但式子却又是二次根式.（2）（a≥0）实际上就是非负数a

2、的算术平方根.（3）是二次根式，虽然＝3，但3不是二次根式.因此二次根式指的是某种式子的“外部形态”.如，当a为实数时，、、、都是二次根式，而、都不一定是二次根式.这是因为a是实数时，并不能保证a+10、a2－1是非负数，即a+10、a2－1可以是负数，如当a＜－10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2－1＜0，因此，、不一定是二次根式.二、能运用二次根式的定义确定有关二次根式的字母取值范围由于式子（a≥0）叫做二次根式，它实际上是一个非负的实数的算术平方根的表达式.所以式子中的被开方数或被开方式必须大

3、于或等于零，即式子是一个非负数.如，当x≥3时，式子在实数范围内有意义.这是因为由二次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x≥3时，式子在实数范围内有意义.这类问题实质上是当x是什么数时，x－3是非负数，式子有意义.三、能运用二次根式的定义解题我们知道，二次根式的结果是一个非负数，在初中阶段，常见的非负数有三个：a2≥0，-9-http://www.czsx.com.cn≥0，≥0.利用“几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零”的性质解题，在各类考试中屡见不鲜.例1　已知y＝++6，则＝.简

4、析　根据二次根式的被开方数是一个非负数，可得3－x≥0且x－3≥0，即x≤3且x≥3，所以x只能等于3，所以y＝6.故＝＝2.例2　已知+y2+4y+4+＝0，求的值.简析　本题可变形为+(y+2)2+＝0，因为是三个非负数的和为0，所以x－3＝0，y+2＝0，z－1＝0，即x＝3，y＝－2，z＝1，故＝＝3.下面两道题目供同学们自己练习：1、已知实数a满足+＝a，求a－20072的值.2、设等式+＝－在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值.3、若实数x、y、a满足+＝+，试问长度分别为x、

5、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.　　参考答案1，由a－2008≥0，得a≥2008.故已知式可化为a－2007+＝a，所以＝2007，两边平方并整理，得a－20072＝2008.2，由a(x－a)≥0及x－a≥0得a≥0；由a(y－a)≥0及a－y≥0得a≤0，故a＝0，从而已知式化为＝，x＝－y≠0，故原式＝＝.3，由x+y－8≥0，8－x－y≥0，得x+y≥8，x+y≤8.所以8≤x+y≤8，x+y＝8.这时，已知等式即为+＝0.因为≥0，≥0，-9

6、-http://www.czsx.com.cn所以＝0，＝0.从而3x－y－a＝0，x－2y+a+3＝0.这两个等式相加，得4x－3y＝－3.联立x+y＝8和4x－3y＝－3，得解得这时a＝3x－y＝4.因为x、y、a中的任意两者的值大小第三者的值，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个三角形.因为x2+a2＝y2，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为3、4.所以该三角形的面积值＝3×4÷2＝6.二次根式的乘除法学习要点二次根式的乘法和除法学习二次根式加减的基

7、础.那么如何才能熟练掌握二次根式乘除法的运算呢？笔者以为应注意掌握以下几个问题：一、正确理解二次根式乘法的意义由于×＝＝＝3，×＝＝＝4，所以，一般地，×＝(a≥0，b≥0).观察这一式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积仍是二次根式.由此二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数.利用二次根式乘法的这个法则应注意：（1）要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立.（2）从运算顺序看，等号左边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方

8、根的积，等号右边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根.（3）公式×＝(a≥0，b≥0)可以推广到三个二次根式、四个二次根式等相乘的情况.（4）根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.例1　计算：（1）－×；（2）×；（3）×；（4）×.-9-http://www.czsx.com.cn分析　利用二次根式的乘法法