大工13秋《高等数学》(上)辅导资料十五

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1、大连理工大学网络教育学院高等数学（上）辅导资料十五主题：第四章不定积分的概念和性质第三节换元积分法与分部积分法（二）学习时间：2014年1月6日－1月12日内容：这周我们将学习第四章不定积分的概念和性质—第三节换元积分法与分部积分法（二）。积分运算与微分运算互为逆运算，求不定积分是积分学的基本问题之一。其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、非常熟练地掌握求不定积分的基本方法：换元积分法、分部积分法。2、会求简单有理函数的积分知识点：换元法、分部积分法、有理函数的积分知识结构图第三节、换元积分法与分部积分法（二）一、第二类换元法设是单调可

2、导函数,且又具有原函数,则有其中是的反函数。这是因为补充公式：（要求记住）(16)(17)(18)第4页共4页大连理工大学网络教育学院(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)积分第二类换元法常用来解决形式如，的积分。只需分别引入变量替换其中为锐角，以消除被积表达式中的根号。由于变换都是三角形式，因此常称之为三角代换法。在变换后的积分运算中，往往会出现三角函数表达式，由于为新变量，因此计算结果必须再换回原变量。为了计算方便，往往会引入直角三角形，利用锐角三角函数定义来确定所需的三角函数值。范例解析：1、计算题、求(a>0)(

3、三角代换法，见下图)解:设，,那么,，于是因为,,所以第4页共4页大连理工大学网络教育学院2、计算题、求(a>0)(三角代换法，见下图)解：设,,那么,，于是因为,,所以其中二、分部积分法设函数及具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式为移项得对这个等式两边求不定积分,得或。第4页共4页大连理工大学网络教育学院这个公式称为分部积分公式。（要求非常熟练地掌握方法）分部积分过程:分部积分法主要用于解决被积函数中含有乘积或含有对数或含有反三角函数的积分。分部积分法的主要作用是把比较复杂的积分转化为较容易计算的积分，起到化难为易的作用，或者是对某

4、些类型的积分，如等，虽然经过一次分部积分之后，并没有把积分难易程度转化，但是如果再施以第二次分部积分之后，能将问题转化为原问题的形式，然而左右二者系数不同，这样可以“间接”地将问题解出。范例解析：计算题、设的一个原函数为，求解：三、有理函数的积分有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数：,其中和都是非负整数，及都是实数,并且。当时,称这有理函数是真分式；而当时,称这有理函数是假分式。1、假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式。（要求理解方法）范例解析：2、求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式分

5、解,然后化成部分分式再积分。（要求理解方法）范例解析：=6ln

6、x-3

7、-5ln

8、x-2

9、+C第4页共4页