高中数学第3章数系的扩充与复数的引入31数系的扩充互动课堂学案苏教版选修1-

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1、3.1数系的扩充互动课堂疏导引导1.复数概念的理解及两复数相等的条件引进了虚数单位i之后,对于方程x2+l=0,当x=i时，x2+l=0成立，因此i是方程x2+l=0的一个根•由于i可以与实数进行四则运算，并且进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，于是便有了形如s+biQ、beR)的数一一复数.复数包括实数和虚数•两个复数相等，是指这两个复数的实部和虚部分别相等•一般地,两个复数只能说它们相等或者是不相等，而不能比较它们的大小，只有当两个复数都是实数时，才能比较它们的大小.2.各数集(复数集、实数集、虚数集、纯

2、虚数集)之间的关系上述四种数集之间的关系可用图来表示.如图，3.数的发展过程'正实数0=O,a>O)实数(b=0)J零(b=0,a=0)负实数0=0^<0)虚数(T誉豐［非纯虚数(0工0/工0)4.注意问题本节内容概念较多，在理解的基础上要牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确，实数也是复数，要把复数与虚数加以区别，对于纯虚数bi(b#o,beR)不要只记形式，认为形如bi的数就是纯虚数,要注意HER,且bHO.复数z=a+bi(a.bER)是由它的实部和虚部唯一确定的.两个复数相等的充要条件是复数问题转化成

3、实数问题的主要方法，要很好地掌握.要明确一个复数等式可得到两个实数等式这一性质，并在解题中会应用它.对“两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小”的说明：(1)根据复数相等的定义知，在a二c,b二d两式中，只要有一个不成立，那么a+biHc+di.(2)“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“V”，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质：①对于任意实数a、b来说,a

4、b,c>0,则ac

5、i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k-5k-6=0吋，zER,即k=6或k=-1.⑵当k-5k-6^0时，刁是虚数，即kH6且kH-l.防_3R_4=0(1)当〈°时，z是纯虚数，解得24.疋一5—6工0£—4=0,…(2)当彳时，z二0,解得k二T.[k2-5k-6=0故当k二6或k=-l时,zGR；当kH6且kHT时，z是虚数；当k二4时，z是纯虚数；当k=T时，z=0.点评：复数z=a+bi,a.beR是复数的基本定义，由a、b的取值来确定实数、虚数和纯虚

6、数，在解题时，关键是确定复数的实部和虚部.例2设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,ra^R,当m为何值时,(l)z是实数;(2)z是纯虚数;(3)z对应的点在第二象限？fm2+3m+2=0解：⑴要使zER,则彳"Om二-1或m二-2,[nr・2m・2>0所以当或m二-2时，刁为实数.(2)要使z为纯虚数，则需Jlg(m2・2m・2)=0,即Jn?・2m・2=l,Im2+3m+2H0,[mH・1且1?1主-2.m=3或加=-1,m工一1且加工-2..*.m=3..*.m=3时,z为纯虚数.(3)要使

7、z对应的点位于复平面内的第二象限，则需]如・2叶2)<0,即叶2<1或1+盯5+3nr+3m+2>0,[nr+3m+2>0[m<一2或〃2>-1o-x-y、-x-y为实数.由复数相等的定义知x=3,y=-2.2x-1=x-y,y+1=・x・y,点评：两个复数相等时，应分清两复数的实部与虚部，然后

8、让其实部与实部相等，虚部与虚部相等.例4已知x是实数,y是纯虚数，且满足(2x-l)+i=y-(3-y)i,求x与y.解：设y=bi(beR且bHO),代入已知条件并整理得(2x-l)+i=-b+(b-3)i.rox1=hb=4,由复数相等的条件得.tc'解得3l=b-3・x=—.i22点评：一般根据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个