历年自主招生考试数学试题大全-2011年华约自主招生数学---精校Word版含答案

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1、www.ks5u.com2011年“华约”自主招生数学试题一、选择题1．设复数z满足

2、z

3、<1且则

4、z

5、=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，已经转化为一个实数的方程．解得

6、z

7、＝2（舍去），．2．在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为．则异面直线DM与AN所成角的余弦为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素．本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等．然后

8、我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起．zONMDCBAPyxNMDCBAPQ-10-解法一：如图1，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为．如图建立坐标系，则A（1，－1，0），B（1，1，0），C（－1，1，0），D（－1，－1，0），P（0，0，），则，．设所成的角为θ，则．3．已知，过点（－1,1）的直线l与该函数图象相切，且（－1,1）不是切点，则直线l的斜率为（）A．2B．1C．-1D．-2【答案】C【解析】显然（－1,1）在的图象上．设切点为，，所以．另一方面，．所以x0＝1,所以．选C．4．若

9、的最小值和最大值分别为（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】首先尽可能化简结论中的表达式，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个．-10-解：，可见答案是B【答案】B【解析】题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱．我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔOO1O2边O1O2上一点C，OO1、OO2延长线上分别一点A、B，使得O1A=O1C，O2B=O2C．解法一：连接，C在上，则，，，故，，．解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则，，

10、，．6．已知异面直线a，b成60°角．A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面（）A．有且只有一个B．有且只有两个C．有且只有三个D．有且只有四个【答案】D【解析】已知平面过A-10-，再知道它的方向，就可以确定该平面了．因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系．于是原题简化为：已知两条相交直线a，b成60°角，求空间中过交点与a，b都成45°角的直线．答案是4个．7．已知向量则的最小值为（）A．1B．C．D．2【答案】B【解析】由得由于，可以用换元法的思想，看成关于x，y+z，y－z三个变量，变形，代入，答案B8．AB为

11、过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解法一：焦点F（1，0），C（－1，0），AB方程y＝x–1，与抛物线方程y2＝4x联立，解得，于是，，答案A-10-BGCEDAF解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD中，∠BAD＝45°，EF∥DA，EF＝2，AF＝AD，BF＝BC，求∠AEB．．类似的，有，，答案A【答案】DA．存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B．存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C．存在某种分法，所分出的三角形

12、至少有3个锐角三角形D．任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形【答案】D【解析】我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形．如图，假设ΔABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF（不妨设在AC的另一边）的（其中的边EF有可能与AC重合）的∠D一定是钝角．事实上，∠D≥∠ADC，而四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC-10-＝180°－∠B，所以∠D为钝角．这样就排除了B，C．DBCAFEDBCA下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形．假设ΔABC中∠B是钝角，在AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另一侧的相邻（指有公

13、共边AC）ΔACD，则∠D＝180°－∠B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形．所以答案是D．二、解答题解：（I），整理得（II）由已知，与（I）比较知．又，，，而，，代入得，，，-10-12．已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）．质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处．（I）若b＝3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？解：不妨设水杯高为1．（I

14、）这时，水杯质量：水的质量=2：3．水杯的重心位置（