概率空间中随机过程概率空间中的转换_刘普寅

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1、第13卷A辑第4期高校应用数学学报Vo.l13Ser.ANo.41998年12月App.lMath.—JCUDecember1998Radon概率空间中随机过程到Loeb概率空间中的转换刘普寅金治明(国防科技大学系统工程与数学系)摘要在Lindstrom于1980年工作的基础上进一步研究了标准概率空间的弱Loeb空间表示的性质,把Radon概率空间中的局部鞅和半鞅转换到了超有限的Loeb概率空间中,为非标准分析方法在随机分析中的应用提供了一个有效的框架.关键词e同态,弱Loeb空间表示,标准部分,局部鞅,半鞅.分类号(中图)O211,O17;

2、(1991MR)60G46,03H28.§1引言非标准分析方法在随机分析中的应用非常广泛,自从1975年P.A.Loeb在文献[1]中将一个内测度空间(Y,A,P)转变成一个标准的测度空间(Y,L(A),L(P))以来,取得了非[2～4]常丰富的成果.对于经典随机分析中的许多问题,如Brown运动,随机积分和随机微分方程等,用非标准分析方法得到了非常直观而易于理解的表现形式.但这里有一个让人感到欠缺之处是这些成果几乎都是在Loeb概率空间上获得的.虽从理论上讲,Loeb概率空间可以视为标准的概率空间,但它的样本空间终究是内集,甚至是超有限集,

3、而在标准概率论,这样的样本空间是不存在的.所以研究如何把一个标准概率空间中的随机分析问题转换到Loeb概率空间中的相应问题就变得非常必要和有意义.[5]Lindstrom通过一个e同态满射,将一个标准概率空间(K0,F0,P0)表示成一个Loeb2概率空间(K,L(A),L(P)),并且将(K0,F0,P0)中的L鞅转换成了(K,L(A),L(P))中本文1997年1月25日收到.国家自然科学基金(19371024)和国防科技大学试验技术研究经费(96-7448)资助项目.434高校应用数学学报第13卷A辑2的L鞅,讨论了相应的随机积分的转换

4、.本文在推广Lindstrom的结果的基础上,将Radon概率空间中的局部鞅与半鞅转换到了Loeb概率空间中,从而为局部鞅与半鞅及相应的随机积分的非标准刻划提供了基础.*假设本文的所有讨论均在κ饱和模型V(S)中,其中κ=Card(V(S)),而S包含实数集R和所讨论概率空间K0,R+={x∈R

5、x≥0},N为自然数集,且r,s,r1,s1等表示R+中的*数,而t,t1,t2等表示R中的超实数.其他没有特别说明的记号见文献[6].§2概率空间的弱Loeb空间表示及性质设F1与F2为两个e代数,称θF1→F2为e同态映射,若对集列{Ai,i∈N

6、}F1,A∈F1,有ccθ(∩Ai)=∩θ(Ai),θ(∪Ai)=∪θ(Ai),θ(A)=(θ(A)).i∈Ni∈Ni∈Ni∈N定义2.1设(K0,F0,P0)为标准概率空间,如果存在超有限概率空间(K,A,P),L(A)的子e代数F,以及e同态满射θF→F0,使得A∈F,L(P)(A)=P0(θ(A)),(1)则称{(K,A,P);F,θ}为(K0,F0,P0)的弱Loeb空间表示.且称满足(1)的同态映射θ是弱保测的.在文献[7]中,Anderson在两个测度空间中引进了保测映射,定义了测度空间的Loeb表示,并且证明了每个Radon测度

7、空间均有Loeb表示,那么弱Loeb空间表示和Loeb表示之间有何关系呢?定理2.1下列断言等价:(i)(K0,F0,P0)有弱Loeb空间表示{(K,A,P);θ,F},并且存在满射λK→K0,使-1-1B∈F0,λ(B)∈F,θ(λ(B))=B,(ii)(K,L(A),L(P))为(K0,F0,P0)的Loeb表示.证明(i)(ii)是显见的.下面只证(ii)(i).-1设λ(K,L(A),L(P))→(K0,F0,P0)为保测满射,记F={λ(B)

8、B∈F0},则F-1L(A),而且F为一个e代数.定义θF→F0,使θ(λ(B))=B(

9、B∈F0),易证θ弱保测且为e同态满射,(i)得证.[5]由上述定理,一个概率空间若有Loeb表示,则它必有弱Loeb空间表示.Lindstrom证明了每个标准概率空间都有弱Loeb空间表示.下面来讨论在弱Loeb空间表示中e同态θ的性质.定理2.2设fK→R是F可测函数,gK0→R为F0可测函数,则(i)对f,存在唯一的函数fθ:K0→R,fθ是F0可测的,且T∈R,θ{f≥T}={fθ≥T}.(2)θθ(ii)对g,存在函数g:K→R,g为F可测,且θT∈R,θ{g≥T}={g≥T}.(3)θg在不计其θ象为空集外唯一确定.第4期刘普寅,

10、金治明:Radon概率空间中随机过程到Loeb概率空间中的转换435证明只证(i),至于(ii),证明是类似的.先设f=iA,A∈F,令fθ=iθ(A),则fθ是F