数学物理方法期末复习纲要new

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1、数学物理方法期末复习纲要第七章数学物理定解问题7.1)理解“波动振动方程””热传导输运方程”泊松方程拉普拉斯方程的物理意义了解这些方程的推导过程7.2)掌握以下基本概念第一第二第三类边界条件初始条件衔接条件齐次非齐次(方程边条)7.3)了解数理方程的分类7.4)理解达朗贝尔公式满足的条件理解定解问题是一个整体第八章分离变数法8.1)掌握齐次方程的分离变数解法基本步骤见P185图解或请自己总结本节主要掌握齐次的波动输运拉普拉斯方程在各类齐次的边条下的解法这里通常只有两个变数且本征函数为三角函数8.2)对于非齐次的振动输运方程方法1

2、傅里叶级数法结合分离变数法方法2冲量定理法掌握方法1理解方法28.3)8.4)掌握非齐次边条的一般处理理解两个变数的泊松方程解法总结齐次方程齐次边条Î分离变数法傅立叶级数法非齐次方程齐次边条Î傅里叶级数法非齐次方程齐次边条齐次初条Î冲量定理法第九章二阶常微分方程级数解法本征值问题9.1)掌握9.1节是掌握整个第九十十一章的关键熟练掌握P236页的表格有简表附后是求解几个常见偏微分方程的根本9.2)掌握以下线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解法y"+p(x)y'+q(x)y=0y(x0)=C1,y'(x0)=C21∞k步骤

3、a)将解表为泰勒级数y(x)=∑ak(x−x0)k=0b)代回原方程合并同幂项c)找出系数间的递推关系d)用边条定出各系数e:通常还要判断解的收敛范围9.3)理解线性二阶常微分方程在正则奇点邻域上的级数解法理解各类贝塞尔方程的求解过程9.4)必须理解什么是本征值问题理解广义傅里叶级数掌握施图姆刘维尔本征值问题的共同性质(1)Page264(2)所有本征值>=0(3)对应于不同本征值的本征函数正交(4)本征函数族是完备的第十章球函数10.1)掌握勒让德方程的解为勒让德多项式P(x)l勒让德函数是正交完备可归一的所以可作为广义傅里叶

4、级数的基展开任意定义在[-1,1]区间上的函数f(x)理解勒让德多项式的母函数以及递推公式10.2)掌握连带勒让德方程的解为连带勒让德多项式:mmP(x)≡P(cosθ)ll连带勒让德函数是正交完备可归一的所以可作为广义傅里叶级数的基展开任意定义在[-1,1]区间上的函数f(x)mm10.3)球函数的表达式P(cosθ)sinmϕ和P(cosθ)cosmϕ.ll球函数是正交完备可归一的所以可作为广义傅里叶级数的基展开任意定义在球面上的函数f(θ,ϕ)要掌握拉普拉斯方程在球坐标系下的各种定解问题可以参见附录以及所附表1表2第十一章

5、柱函数11.1)理解三类柱函数的定义JNH贝塞尔诺依曼汉克尔函数熟悉其渐近行为特别是x→0的行为211.2)掌握贝塞尔方程的解特别注意µ本征值通常直接通过贝塞尔函数的零点来表示贝塞尔函数也是正交完备可归一的可作为广义傅里叶级数的基11.4)掌握虚宗量贝塞尔方程的解熟悉虚宗量贝塞尔函数虚宗量汉克尔函数的渐近行为11.5)掌握球贝塞尔方程的解特别注意球贝塞尔函数球诺依曼函数的渐近行为要掌握拉普拉斯方程亥姆霍兹方程包括波动输运方程在柱坐标系下的各种定解问题可以参见附录以及所附表1表2第十二章格林函数第七章到第十一章的分离变数法得到的解

6、表示为多个的无穷求和本章将偏微分方程的解表示为积分形式格林函数法1掌握格林函数是点源影响函数的概念由此可将解表为积分2掌握点源的数学表达以及第一类边条下格林函数应满足的方程3了解格林函数的求法4了解方程解的积分表达式附表1波动方程输运方程的分离变数解u(r,t)=v(r)T(t),得u−a2∆u=0Acoskat+BsinkatttT"+k2a2T=0解为C+Dt2∆v+kv=0(表2)u(r,t)=v(r)T(t),得2ut−a∆u=022−k2a2tT'+kaT=0CeÆ解为2∆v+k

7、v=0(表2)表2另列见另一文件3必须记住的几个常用特殊函数勒让德多项式P(x)=1,P(x)=x=cosθ……Page2750112连带勒让德P(x)=1−x=sinθ……Page4761sinxsinkr球贝塞尔函数j(x)==x=kr0xkrcosx球诺依曼函数n(x)=−……Page3640x4附录波动方程输运方程拉普拉斯方程以及亥姆霍兹方程分别为21u−a∆u=0主要考虑齐次方程tt22u−a∆u=0u=u(r,t)t3∆u=024∆v+kv=0它们在球坐标系r,θ,ϕ和柱坐标系ρ,ϕ,z中分离变数时碰到的方程包括P

8、.S.:(记住方程的解方程本身的形式可看书)1欧拉方程22dRdR2ρ+ρ−mR=02dρdρA+Blnρ(m=0)解为R(ρ)=m1Cρ+D(m≠0)mρ2)l阶连带勒让德方程222dΘdΘm(1−x)−2x+[l(l+1)−]Θ=022dxdx1−