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1、电力教研室数值计算方法梁海峰3.4向量范数、矩阵范数向量范数在三维空间中,常用三种方法来衡量一个向量r=(x,y,z)T的“长度”,即222x++yzx,,+y+zxmax(,y,z)这种衡量的方法可推广到n维向量x=(x,x,…,x)T12n也即下面介绍的向量范数。定义1：设n维向量x∈Rn,记对应向量x的一个实数为‖x‖,若‖x‖满足下面三个性质:（1）非负性，即‖x‖≥0，当且仅当‖x‖=0时，‖x‖=0；（2）齐次性，‖λx‖=｜λ｜‖x‖，λ为任意实数；（3）三角不等式性，‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖，y∈Rn。则称该实数‖x‖为向量x的范数。对于不小于1的正数p，具有向量范数的
2、三条基本性质，称之为向量x中的p范数，记为‖x‖，pn1即ppxxp={}∑ii=1在Rn中,常用的几种向量范数有:矩阵范数在数值计算中,为了进行某种估计,常常要比较不同向量的范数,向量有时以Ax的形式出现,其中A为n×n阶矩阵A=(a)ijn×n这就需要寻求‖x‖和‖Ax‖之间的某种关系。我们希望有‖Ax‖≤C‖x‖设A为n×n阶矩阵,定义AxA=maxx≠0x为矩阵A的范数。可以证明,矩阵范数满足下列的几个性质:(1)非负性,‖A‖≥0,当且仅当A=0时,‖A‖=0(2)齐次性,‖λA‖=｜λ｜‖A‖,λ为任意实数(3)三角不等式性,‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖,B与A为同阶矩阵(4)
3、‖Ax‖≤‖A‖‖x‖(5)‖AB‖≤‖A‖‖B‖迭代法的收敛性若()klimxx−=0k→∞则称向量序列｛x(k)｝收敛于向量x,记为()klimxx=k→∞若()klimAA−=0k→∞则称矩阵序列｛A(k)｝收敛于矩阵A,记为()klimA=Ak→∞补充非线性方程组的数值解法内容：1.高斯－塞德尔迭代法2.牛顿－拉夫逊迭代法要求：1.了解高斯－塞德尔迭代法的迭代思路2.理解牛顿－拉夫逊迭代法解题方法补充非线性方程组的数值解法非线性方程组⎧f1(x1,x2,Lxn)=0⎪⎪f2(x1,x2,Lxn)=0⎨⎪M⎪f(x,x,Lx)=0⎩n12n向量形式简写:⎡x1⎤⎡f1(x)⎤F(x
4、)=0⎢⎥⎢⎥xf(x)x=⎢2⎥F(x)=⎢2⎥⎢M⎥⎢M⎥⎢⎥⎢⎥xf(x)⎣n⎦⎣n⎦补充非线性方程组的数值解法非线性方程组与线性方程组的区别：线性方程组解唯一存在，非线性方程组解是否存在或唯一不确定非线性方程组一般不能写成简单迭代格式：⎧x=f(x,x,Lx)1123n⎪⎪x2=f2(x1,x3,Lxn)⎨⎪M⎪x=f(x,x,Lx)⎩nn12n−1补充非线性方程组的数值解法一、高斯－塞德尔迭代法设方程组⎧a11x1+a12x2+a13x3=y1(x1,x2,Lxn)1⎪⎨a21x1+a22x2+a23x3=y2(x1,x2,Lxn)2⎪ax+ax+ax=y(x,x,Lx)3⎩3
5、11322333312naay(x,x,Lx)1213112n由1得到：x=−x−x+123aaa111111x=bx+bx+g(x,x,Lx)写成：1122133112n补充非线性方程组的数值解法⎧x1=b12x2+b13x3+g1(x1,x2,Lxn)⎪⎨x2=b21x1+b23x3+g2(x1,x2,Lxn)⎪x=bx+bx+g(x,x,Lx)⎩3311322312n得到迭代形式：(k+1)(k)(k)(k)(k)(k)⎧x=bx+bx+g(x,x,x)11221331123⎪(k+1)(k+1)(k)(k+1)(k)(k)⎨x2=b21x1+b23x3+g2(x1,x2,x3)⎪
6、(k+1)(k+1)(k+1)(k+1)(k+1)(k)x=bx+bx+g(x,x,x)⎩33113223123解法实质上是线性方程组塞德尔迭代法的推广补充非线性方程组的数值解法例如：在电力系统潮流计算中电压方程*⎡S⎤YU=BB⎢⎥⎣U⎦B⎧P−jQyU&+yU&+L+yU&=11⎪1111221nn*⎪U1⎪P−jQ展开方程式：⎪yU&+yU&+L+yU&=222112222nn*⎨U2⎪M⎪P−jQ⎪yU&+yU&+L+yU&=nnn11n22nnn*⎪⎩Un补充非线性方程组的数值解法高斯－塞德尔迭代法的优缺点：优点：高斯—塞德尔迭代法对适当的初值收敛性较好缺点：收敛性速度较慢、方
7、程组的形式受限制补充非线性方程组的数值解法通常的解非线性方程组的解法一类为线性化法，将非线性方程组转化为线性方程组来求解另一类为求函数极小值法，构造模函数，求模函数的极小值。例如：n2ϕ(x1,x2Lxn)=∑[fi(x1,x2Lxn)]i=1补充非线性方程组的数值解法二、牛顿－拉夫逊法设非线性方程组⎧f(x,x,Lx)=0112n⎪⎪f2(x1,x2,Lxn)=0⎨⎪M⎪f(x,x,Lx)=0⎩n12n补充非线性方程组的数值解法如
