2014 高等弹性理论-09-非线性弹性

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1、上一讲主要内容：能量原理真实状态、可能状态变形可能状态、可能位移、可能应变静力可能状态、可能应力高等弹性理论-09虚位移、虚应力变形功、可能功、虚功非线性弹性问题弹性系统、势能、余能可能功定理虚功原理、虚位移原理最小势能原理、最小余能原理李兹法、伽辽金法、广义变分原理非线性弹性问题度量和描述度量和描述•Euler描述，lagrange描述度量问题、格林应变、PK应力•格林应变张量非线性弹性本构方程建立原则1xx复合材料非线性本构关系E(rr)IJIJ2XXIJ橡胶复合材料非线性本构关

2、系E1(UUUU)IJ2I,JJ,IM,IM,J橡胶材料的应力响应几何关系非线性线元、面元与体元的变换应力张量的描述xdxFdXdxidX•线元iJ•Cauchy应力张量XJ•Euler坐标描述，应力是作用在变形后的截面上单位dXF1dxdXXIdx面积上的内力，随空间坐标变量变化而变化。Ijxj•作用在变形构架上的实际面积•面元的变化•真实应力T1XLdTLdaJFdAdaiJFLidALJdALxida•体积的变化dVxxixjxdA为da在未变形时所对应的面积，dT

3、L为da平面上的力矢量JikJeijkdV0XJX1X2X31应力张量的描述应力张量的描述•Lagrange应力张量•Kirchhoff应力张量L•dA为da在未变形时所对应的面积•dA为da在未变形时所对应的面积，dT为da平面上L的力矢量，dTk为dA平面上的虚拟力矢量•dT为da平面上的力矢量LKdTdTK1TSdTFdTdAdAdTdTLT变形前力矢量除于变daJFdAdada形前的作用面积TdaJFdATJFT1TSFJF11SJFFIJIiJj

4、ij应力张量的描述非线性问题的平衡方程Kirchhoff应力的物理意义：•Euar描述Cauchy应力张量表示的平衡方程f0可以计算得到真应力（考虑质量守恒定律）ij,jiaa•Lagrane描述Kirchhoff应力张量表示平衡方程0ijSijxxklkl[(U)S)]F0IBI,BBAIX方便确定边界条件和材料关系(定义在初始A构型上)xiKSNPBAAiXA9非线性弹性本构关系实验与数据处理•Kirchhoff应力张量表示的本构关系单向拉伸时数据点采集W(E)SIJIJ

5、EIJ试件试验试验试验试验试验试验试验试验试验尺寸点1点2点3点4点5点6点7点8点9•Cauchy应力张量表示的本构关系大变形KC152.44,25,40,50,70,100,150,200,250,300,0.2621235917273650dVWKC302.43,15,20,30,36,60,75,108.5,140,0FijjN0.264691126366696dVFiNKC452.432,8,13,24,33,41.5,64.5,82.5.98,113.5,0.2762.44.49.414.419.439.4

6、59.479.499.4KC902.396,11.5,25,34,42,49,54,68,75,81,0.276515253545507080100122实验与数据处理实验与数据处理单向拉伸时格林应变为Eu11(u1)2u1(u)2格林应变，应力定义为第二类皮奥拉克希荷夫应力11X12X1L02L0E1[ujuiukuk]XlXmTidTPijSlmJij欧拉应力为11limu2XiXjXiXjxixjA0AdAww(1)212L坐标变换公式和位移变换

7、公式0xXuXuuX雅可比矩阵为Jex1x2x3(1u)(1u)211111123XXXLLL0L012300uux2X2X2u2X2第二类皮奥拉克希荷夫应力为L0L0XXPuuSJ11=x3X3X3u3X311xx11uLL11ww(1)00121314L0实验与数据处理变泊松比问题KC45?3V0JVdVd假定拉伸状态时材料变形前后的体积不变J1Cauchy-Eulercurve2ldl0(1

8、x)变形后试件的长宽厚分别为w1dw10(1x)Stress(MPa)1w2dw20(1x)Green-KirchhoffcurveV0L0w10w202VLww(1x)(1x)1dd1d2d10%20%30%40%50%1Strain1x