多线性算子在加权morrey空间有界性

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1、摘要Ｍｏｒｒｅｙ空问是Ｉ扫Ｍｏｒｒｅｙ研究二阶椭圆偏微分方程解的局部正则性而引入的函数空间．Ｍｏｒｒｅｙ空间可看作Ｌｅｂｅｓｇｕｅ空间的推广，在偏微分方程解的局部正则性研究中起着重要作用．因此研究调和分析中各类算子在其空间上的有界性是自然而且有意义的．多线性算子在近几年调和分析研究中占有极其重要的地位，在偏微分方程与多复变分析中有很多应用．本文我们将研究多线。Ｉ生Ｈａｒｄｙ—Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ极大算子，多线－ＩＣＣａｌｄｅｒ６ｎ—Ｚｙｇｍｕｎｄ算子，多线性Ｃａｌｄｅｒ６ｎ—Ｚｙｇｍｕｎｄ算子７＿与ＢＭ０函数构成

2、的交换子，多线性分数次积分算子等算子在加权Ｍｏｒｒｅｙ空间上的有界性．第一节我们介绍了加权Ｍｏｒｒｅｙ空间三舭（叫，ｕ）的定义，多线性Ｈａｒｄｙ—Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ极大算子Ｍ，多线性Ｃａｌｄｅｒ６ｎ—Ｚｙｇｍｕｎｄ算子丁，多线。Ｉ生Ｃａｌｄｅｒ６ｎ—Ｚｙｇｒｎｕｎｄ算子丁与ＢＭＯ的交换子瓦，多线性分数次积分算子五等算子的定义，列出一些本文要用到的引理及记号．第二节我们首先得到了多线性极大算子Ｍ在加权Ｍｏｒｒｅｙ空问上的有界性：若１＜岛＜（３０，Ｊ＝１，…，ｍ，Ｗ∈Ａ。ｉ。ｊ巧，０≤Ｋ≤１，则Ｍ是ｐ１＇“（叫）Ｘ

3、…Ｘ沙，‘（伽）一ｐ，“（叫）的有界算子，即ＩＩＭ（ｆ）ｌｌＬ，，一（。）≤ＣＩＩＩＩＩｊｌＩＬ，Ｊ，一（。）．ｊ＝ｌ若ｌＳＰｊ＜。。，对某们，Ｐ５＝１，Ｗ∈Ａ１，则对一切ｔ＞ｏ及任意方体Ｑ有叫（＿［ｚ∈Ｑ：Ｍ（乃（ｚ）＞ｔ））≤（孚叫（Ｑ）盖ⅡｌＩ办｜｜Ｌ吁一（。））ｐ．ｉ＝１在第二节还对多线性Ｃａｌｄｅｒ６ｎ．Ｚｙｇｍｕｎｄ算子，在第三节对多线。Ｉｔｆ：Ｃａｌｄｅｒ６ｎ—Ｚｙｇｍｕｎｄ算子的交换子，得到了类似的结果．在第四节得到了多线性分数次积分算子互在加权Ｍｏｒｒｅｙ空间上的有界性：设０＜ａ＜ｍｎ，五为多

4、线性分数次积分算子．（１）若ｌ＜Ｐｌ，…，Ｐｍ＜。。，磊１＜Ｐ＜三，石１＝；１一簧，Ｗ∈Ａ。ｉｑ乃，ｑ，０＜托＜：．则存在Ｃ＞０，ＩＪ互（艿ｂ，警（。叫≤ｃⅡ惦｜｜历，一（彬（ＷＴｎｑ）．ｊ＝ｌ（２）若对某们，扔＝１，。１＝；一芸，Ｗ∈Ａ１ｍ０＜Ｋ＜：，则对一切亡＞ｏ及任意Ｑ有叫”ａ（｛ｚ∈Ｑ：Ｉ厶（乃（ｚ）Ｉ＞￡））≤（孚叫ｍｑ（Ｑ）；Ｉｌ乃｜｜历１。，。。。））９．对多线性分数次极大算子。及其交换子致也得到了类似的结果．关键词：加权Ｍｏｍ猡空间多线性Ｈａｒｄｙ—Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ极大算子多线性Ｃａｌｄｅ

5、ｒ６ｎ—Ｚｙｇｍｕｎｄ算子多线性分数次积分算子多线性分数次极大算子交换子ＩＩＩＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅＭｏｒｒｅｙｓｐａｃｅｓｗｅｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｂｙＭｏｒｒｅｙｔｏｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｔｈｅｌｏｃａｌｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｅｌｌｉｐｔｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．ＴｈｅｓｅｓｐａｃｅｓｃａｎｓｅｅａｓｔｈｅｅｘｐａｎｓｉｏｎｏｆｔｈｅＬｅｂｅｓｇｕｅｓｐａｃｅｓａｎｄｐｌａｙａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｉ

6、ｎｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｏｆｔｈｅｌｏｃａｌｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｏｓｔｕｄｙｔｈｅｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓｏｆａｌｌｋｉｎｄｏｆｏｐｅｒａｔｏｒｓｏｎｔｈｉｓｓｐａｃｅｉｓｎａｔｕｒａｌａｎｄｍｅａｎｉｎｇｆｕｌ．Ｔｈｅｍｕｌｔｉｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｓａｒｅｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｏｐｅｒａｔｏｒｓｉｎｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｈａｖｅａｌｏｔｏｆａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎｔｈｅｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆ

7、ｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｃｏｍｐｌｅｘａｎａｌｙｓｉｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ＷｅｗｉｌｌｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓｏｎｏｆｔｈｅｗｅｉｇｈｔｅｄＭｏｒｒｅｙｓｐａｃｅｓｆｏｒｔｈｅｍｕｌｔｉｌｉｎｅａｒＨａｒｄｙ—Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄｍａｘｉｍａｌｏｐｅｒａｔｏｒ，ｍｕｌｆｉｌｉｎｅａｒＣａｌｄｅｒ６ｎ—Ｚｙｇｍｕｎｄｏｐｅｒａｔｏｒ，ｔｈｅｃｏｍｍｕｔａｔｏｒｓｏｆｍｕｌｔｉｌｉｎｅａｒＣａｌｄｅｒ６ｎ－ＺｙｇｍｕｎｄｏｐｅｒａｔｏｒｗｉｔｈＢＭＯｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

8、，ｔｈｅｍｕｌｔｉｌｉｎｅａｒｆｒａｃｔｉｏｎａｌｉｎｔｅｇｒａｌｏｐｅｒａｔｏｒｓａｎｄＳＯｏｎ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎ１，ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓｏｆｗｅｉｇｈｔｅｄＭｏｒｒｅｙｓｐａｃｅｓＬｐ一（伽，“）ａｎｄｔｈｅｍｕｌｔｉｌｉｎｅａｒＨａｒｄｙ—ＬｉｔｔｌｅｗｏｏｄｍａｘｉｍａｌｏｐｅｒａｔｏｒｓＭ．ｍｕｌｔｉｌｉｎｅａｒＣ