复变函数第二讲

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1、§5复变函数1.复变函数的定义2.映射的概念3.反函数或逆映射1.复变函数的定义定义设G是一个复数zxiy的非空集合,存在法则f,使得zG,就有一个或几个wuiv与之对应,则称复变数w是复变数z的函数（简称复变函数）记作wf(z).若z一个w值，称f(z)是单值函数;z多个w值，称f(z)是多值函数.G—f(z)的定义集合，常常是平面区域（定义域）*G{wwf(z,)zG}—函数值集合zxiy(x,y);wuiv(u,v)wf(z)f(xiy)u(x,y)iv(x,y)故uu(x,y)vv(x,y)w

2、f(z)uivuu(x,y)vv(x,y)2例1wz令zxiywuiv222则wuiv(xiy)xy2xyi222wzuxyvx,2.y11例2若已知fzx()1iy12222xyxy将fz()表示成的函数z.11设则zxiyx,(zzy),(zz)22i1fzz().z2.映射的概念——复变函数的几何意义在几何上，w=f(z)可以看作：wfz()*zGz()平面wGw()平面的映射.定义域函数值集合称w为z的象点(映象)，而z称为w的原象.y(z)v(

3、w)w=f(z)G*Gw=f(z)zwoxou•几何意义复变函数是一个映射(变换)在复变函数中,用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v与x，y之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.以下不再区分函数与映射(变换).例3研究wz所构成的映射.zrirei解设(cossin)zrei—关于实轴对称的一个映射见图1-1~1-2i例4研究wez()为实常数所构成的映射.iiiii()解设zrewezerere—旋转变换(映射)见图2(z)v(w)yooxu图1-1y、v(z

4、)、(w)y、v(z)、(w)x、uox、uo图1-2图22例5研究wz所构成的映射.(z)(w)yv2wz2oxouv(w)(z)y2wz422==wzRR63ox2ouwz22xy43.反函数或逆映射22n例如,设zz则称为z的反函数或逆映射.2kwzzek2(,01)∴为多值函数,2支.定义设w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G*wf(z)*zGwG一个或几个wG*()zGz(w)则称z=(w)为w=f(z)的反函数(逆映射).*显然有wf[(w)]wG当反函数

5、单值时z[f(z)]zG(一般z[f(z)])当函数(映射)wf(z)和其反函数(逆映射)z(w)都是单值的,则称函数(映射)wf(z)是一一的,也称集合G与集合G是一一对应的.例已知映射w=z3，求区域0

6、fzzz()当时的极限，记作lim()fzA0zz0或当zzfzA时，().0几何意义:当动点一旦进入zy(z)v(w)z的充分小的去心0wf(z)邻域内时它的象点,z0Afz()就落入的一个Aoxou预先给定的邻域中.(1)定义中zz0的方式是任意的,与一元实变函数相比较要求更高.(2)A是复数.(3)若f(z)在z处有极限,其极限是唯一的.02.运算性质定理1(复变函数极限与其实部和虚部极限的关系)设f(z)u(x,y)iv(x,y)zxiyzxiy000limuxy(,)u0(,)(,)xyxy00则lim()fzAui

7、v00zz0limvxyv(,)0(,)(,)xyxy00定理2若limf(z)Alimg(z)B,则zz0zz0limf(z)g(z)limf(z)limg(z)ABzz0zz0zz0limf(z)g(z)limf(z)limg(z)ABzz0zz0zz0limf(z)f(z)zzAlim0(limg(z))0zz0g(z)limg(z)zz0Bzz0以上定理用极限定义证明.zz例1求fz()当z0时的极限.zz222(xy)解fz()当(,)(0,0)xy时极限不存在，22xy

8、zzfz