复变函数第1讲

《复变函数第1讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、复变函数论主讲刘新海中国石油大学（华东）序言函数论是数学研究中的一个十分重要的领域。其中包括两大分支：一是实变函数论（研究以实数作为自变量的函数，高等数学研究的就是这一类函数）；另一是复变函数论（研究以复数为自变量的函数），本课程就是介绍复变函数的理论，其研究对象是解析函数。现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用。比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一。复变函数不仅在其他学科得到广泛应用，而且在数学领域里，许多分支也都应用它的理论，他已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论

2、等学科，对他们的发展有很大的影响。复变函数的应用第一章复数与复变函数1复数3复变函数4复球面与无穷远点2复平面上的点集注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同；(2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数.§1.1复数1.复数域其中实部虚部共轭加、减：乘法：注:复数的四则运算除法：容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、结合律.这样取X=1，得矛盾！有序实数对(x,y)平面上一点P实轴、虚轴、复平面Z平面、w平面2.复平面xyO复数代数表示OxyXYqPr复数的向量表示模：辐角：几何表示复数向量表示的重要意义：能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变得直观,由此立即得到下面不等式

3、：oxy(z)z1z2z1+z2z2-z1两点距离公式显然为整数.3.复数的模与辐角复数的三角形式根据上式称为复数的三角形式.Oxy可以得到复数的指数形式由欧拉公式可以得到复数的指数表示式:例4复数的各种形式转换例5将复数化为指数形式.辐角主值的另一计算公式18（1）、乘积与商因此注意多值性4.复数的乘幂与方根19xyO判断下列说法是否正确？几何解释(T)(F)20除法运算或者集合等式21例6：已知正三角形的两个顶点为求三角形的另一个顶点。xyO22（2）、幂与根定义z的n次幂：则有—---棣莫弗公式.定义z的n次根：若有wn=z,则称w为z的n次根，记为定义23如何求z的n次根呢？24当

4、k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：25xyo注26例8.例7.2728例10法一法二麻烦5.共轭复数另外，还经常用到以下性质：显然例11求复数（复数）的实部、虚部和模。解（1）因为（2）因为并用此等式证明三角不等式。证其次则33例15：设试写出f(z)的关于z表达式。分析：令解出x,y代入表达式整理可得。例16：设分析：令34例17：试证下列等式分析：6.复数在几何上的应用举例例18.下列方程各表示什么曲线？4）写出直线的复数形式方程.1）2）解：1)、2)的关键是知道复数模的几何意义，所以：1）表示圆周，2）表示直线.3）3）化为实方程，为此代入，得化简，得，表示一条直线.

5、4）由得代入直线方程因而直线的方程为，其中为实数.例19求证：三个复数成为一个等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式证xyO即即两边平方化简可得。例20证明三角形的内角和等于证由则由有