(高等数学)导数与微分习题

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1、一.填空题(理工类)1.,则=_______.解.,假设,则,所以2.设,则______.解.,3.设函数y=y(x)由方程确定,则______.解.,所以4.已知f(－x)=－f(x),且,则______.解.由f(－x)=－f(x)得,所以所以5.设f(x)可导,则_______.解.=+=6.设,则k=________.解.,所以所以7.已知,则_______.2解.,所以.令x=2,所以8.设f为可导函数,,则_______.解.9.设y=f(x)由方程所确定,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的法线方程为_______.解.上式二边求导.所以切线斜率.法线斜率为,法线方程为

2、,即x－2y+2=0.二.单项选择题(理工类)1.设f(x)可导,F(x)=f(x)(1+

3、sinx

4、),则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的(a)充分必要条件(b)充分但非必要条件(c)必要但非充分条件(d)既非充分又非必要条件解.必要性:存在,所以=,于是======所以,2f(0)=0,f(0)=0充分性:已知f(0)=0,所以========所以存在.(a)是答案.2.已知函数f(x)具有任意阶导数,且,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数是(a)(b)(c)(d)解.,假设=,所以=,按数学归纳法=对一切正整数成立.(a)是答案.3.设函数对任意x均满足f(1+

5、x)=af(x),且b,其中a,b为非零常数,则(a)f(x)在x=1处不可导(b)f(x)在x=1处可导,且a(c)f(x)在x=1处可导,且b(d)f(x)在x=1处可导,且ab解.在f(1+x)=af(x)中代入=,所以.(d)是答案注:因为没有假设可导,不能对于二边求导.4.设,则使存在的最高阶导数n为(a)0(b)1(c)2(d)3解..所以n=2,(c)是答案.5.设函数y=f(x)在点x0处可导,当自变量x由x0增加到x0+x时,记y为f(x)的增量,dy为f(x)的微分,等于(a)－1(b)0(c)1(d)解.由微分定义y=dy+o(x),所以.(b)是答案

6、.6.设在x=0处可导,则(a)a=1,b=0(b)a=0,b为任意常数(c)a=0,b=0(d)a=1,b为任意常数解.在x=0处可导一定在x=0处连续,所以,所以b=0.,,所以0=a.(c)是答案.7.设f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充要条件为(a)h)存在.(b)存在.(c)h)存在.(d)存在.解.由存在可推出(a)中的极限值为,(b)中的极限值为,(d)中的极限值为,而(c)中的极限为:;反之(a)及(c)中的极限值存在,不一定存在,举反例如下:y=

7、x

8、,不存在,(a)、(c)二表达式的极限都存在排除(a)及(c).(d)中的极限存在,不一定存在,举反例如下

9、:,排除(d).所以(b)是答案.由(b)推出存在证明如下:==所以存在.8.设函数f(x)在(－,+)上可导,则(a)当时,必有(b)当时,必有(c)当时,必有(d)当时,必有解.(a)不正确.反例如下:y=x;(b)不正确.反例如下:;(c)不正确.反例如下:;(d)是答案.证明如下:因为,所以对于充分大的x,单增.如果,则证明结束,否则单增有上界,则存在(k为有限数).任取x,在区间[x,x+1]上用拉格朗日定理(x<

10、f(x)

11、在x=a处不可导的充分条件是(a)f(a)=0且.(b)

12、f(a)=0且.(c)f(a)>0且.(d)f(a)<0且.解.(a)反例f(x)=0,取a=0.排除(a);(c)反例:,取a=0.f(0)=1>0,,

13、f(x)

14、=f(x),在x=0可导.排除(c);(d)反例:,取a=0.排除(d);所以(b)是答案.对于(b)证明如下:在(b)的条件下证明不存在.不妨假设..所以存在,当x(a－,a+)时.所以当x>a时,f(x)>0.于是.当x

15、x)二阶可导,,且,求,.解.,所以=3.所以7.设曲线x=x(t),y=y(t)由方程组确定.求该曲线在t=1处的曲率.解..所以所以.所以.在t=1的曲率为四.已知,其中g(x)有二阶连续导数,且g(0)=1(1)确定a的值,使f(x)在x=0点连续;(2)求.解.(1)f(x)在x=0点连续,所以,所以,所以g(0)=cos0=1(这说明条件g(0)=1是多余的).所以=(2)方法1:===(0<