灰色动态模型及其在人口预测中的应用

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第32卷第5期数学的实践与认识Vol132No152002年9月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYSep.,2002灰色动态模型及其在人口预测中的应用12郝永红,王学萌(11山西大学环境与资源学院,太原030006)(21山西省农业科学院农业资源综合考察所,太原030006)摘要:一个国家人口的数量直接影响着其经济、社会的发展和资源的利用,中国是世界上人口的第一大国,人口问题一直是制约中国发展的第一因素.本文应用灰色系统等维灰数递补动态预测模型,对中国未来50年的人口数量进行了动态预测,通过检验表明,该模型合理、方法简便可行、结果符合实际,为中国经济和社会发展的决策和研究提供了科学依据.关键词:等维灰数递补动态预测;人口预测;可持续发展1前言一个国家人口的数量直接影响着其经济、社会的发展和资源的利用.中国是世界上人口的第一大国,人口问题一直是制约中国发展的第一因素,因此,在21世纪到来之际,预测中国未来50年人口数量及其增长率,有着重要的现实意义.本文根据灰色系统等维灰数递补动态预测模型对未来50年中国的人口数量进行了动态预测.通过实证分析,对模型进行了检验,预测误差小,应用效果比较符合实际.2灰色预测原理、模型和方法211灰色预测概念灰色预测的特点是单数列预测.在形式上,只运用预测对象自身的时间序列建立模型,与其相关联的因素没有参与运算和建模.这是否说,那些因素对预测对象没有影响和作用呢?模型是否不够全面或完善呢?并不是,灰色系统的“灰”,正体现在这里.任何一个客观系统,究竟含有多少因素,是难以说清楚的.如人口系统,影响其增长的因素既有社会经济的,也有自然环境的,还有科学技术方面的,这些众多的因素,不是用几个指标所能表达清楚的.而且,这些因素之间的结构关系难以准确描述,它们对人口增长的作用更是无法精确计算.多数因素都在动态变化之中,其运行机制和变化规律难以完全明白.这反映了人口系统具有明显的灰色性,他是一个既含有许多已知信息,又存在许多未知或未确知信息的灰色系统.灰色系统理论把这样受众多因素影响,而又无法确定其复杂关系的量,称为灰色量.对灰色量进行预测,不必拼凑数据不准,关系不清、变化不明的参数,而是从自身的时间序列中寻找有用信息建立模型,发现和认识内在规律,并进行预测.但不是说,像人口这样的灰色量不受任何因素的影响,而是说,他们时间序列数据的动态变化,正是那些主要的、次要的,直接的、间接的,已知的、未知的,明显的、隐含的众多因素相互联系、相互制约协同作用的结收稿日期:2002203201基金项目:山西省青年科技研究基金项目;太原市科技启明星计划项目(20021028) 814数学的实践与认识32卷果.实际上它们的影响,已或多或少地反映在起伏波动的数据里.如每年的总人口数,既有育龄妇女当年生育的因素,也受育龄妇女没有生育的影响,既有老人自然死亡的因素,也有疾病、事故、自然灾害等的影响,既有国家计划生育政策的积极作用,也受传统思想的影响等.正是这些既明白又不完全清楚的众多因素共同作用的结果,才获得现实的一个灰色量——总人口数.灰色预测的另一特点是不追求大样本量.灰色系统分析有个重要原则就是现实信息优先的原则,即在处理历史信息和现实信息的关系时,重视现实信息.这是由于在信息不完全系统中,表征或反映它的状态特征和行为的主要是现实信息,直接影响系统未来发展趋势、起着主导作用的也是现实信息;同时在历史信息中,能反映客观事物发展规律的那部分信息,都会以这样或那样的方式被现实信息所载有.这一点对于社会、经济等本征性灰色系统更为明显.显然,我们不能用改革开放前的社会经济信息来描述和表征改革开放后的社会经济状态,更不能将它作为主要依据来预测未来社会经济的发展趋势.所以,灰色预测不追求大量历史数据,也不荷求它的典型分布.而是对已掌握的部分信息进行合理的技术处理,通过建立模型,在更高的层次上,对系统动态过程进行科学的描述.212灰色预测模型的动态特征灰色单数列预测,与数理统计学中的时间序列预测,有本质的不同.时间序列预测是利用时间序列的几何特征和统计规律进行预测.是一种历史的和静态的研究.而灰色数列预测是一种现实的和动态的分析与预测.这是由于灰色动态模型不是利用时间序数据直接建模,而是将序列数据作一次累加生成后,再建立微分方程.下面通过对灰色动态模型GM(1,1)进行分析与讨论,来说明这个特征.GM(1,1)模型为一阶微分方程:(1)dx(t)(1)+ax(t)=u(1)dt(1)(0)方程中的X(t)为原始数据序列X(t)的依次累加值,即系统的逐年累计总量;而方程左边第一项为系统的逐年增量,即系统发展速度.可见,GM(1,1)模型是描述和研究系统的总量与系统流量之间的动态关系的微分方程.求微分方程的解,得到时间函数:(1)(1)u-atuxd(t+1)=x(0)-e+(2)aa再进行累减还原,便得到(0)(1)(1)xd(t)=xd(t+1)-xd(t)(3)以上方程即为GM(1,1)模型进行灰色预测的基本计算公式.因此,在形式上GM模型的时间函数是指数函数,但其内涵与指数拟合方程是不同的,它们所反映的系统变化规律,其实质和意义也是不同的.因此,灰色动态模型的累加生成,并不是可有可无的、繁琐的重复运算,而是一种揭示与寻找系统客观规律的新的思路和科学方法.213灰色数列预测的计算方法若给定原始数据序列(0)(0)(0)(0)X=[X(1),X(2),⋯X(m)](4)(0)可分别从X序列中,选取不同长度的连续数据作为子序列.对于子序列建立GM(1, 5期郝永红等:灰色动态模型及其在人口预测中的应用8151)模型的步骤可以概括为:1)确定任一子数据序列(0)(0)(0)(0)Xi=[X(1),X(2),⋯X(n)](5)2)对子数据序列作一次累加生成记为:(1)(1)(1)(1)Xi=[X(1),X(2),⋯X(n)](6)t(1)(0)其中,X(t)=∑X(k),t=1,2,⋯,nk=13)构造矩阵B与向量Yn1(1)(1)-(X(2)+X(1)),121(1)(1)-(X(3)+X(2)),1B=2(7)⋯⋯1(1)(1)-(X(n)+X(n-1)),12(0)(0)(0)Yn=(X(2),X(3),⋯,X(n))(8)4)用最小二乘法求解系数adaT-1Tad==(BB)BYn(9)u5)建立GM(1,1)模型d(1)(0)u-akuX(k+1)=X(1)-e+(10)aad(1)6)将X还原d(0)d(1)d(1)X(k)=X(k+1)-X(k)(11)(0)d(0)7)求出X(k)与X(k)之差及相对误差(0)(0)d(0)E=X-X(12)(0)(0)(0)E=(EöX)×100%(13)在应用时,可以根据数列的动态规律和变化特征与系统未来发展趋势是否相近,来适当选择不同的子序列进行建模,并从中选择最佳模型进行预报.214灰数等维递补动态预测方法一般情况下,GM(1,1)模型通过对数列长度的不同取舍,可得到系列预测结果,而组成一个预测灰区间,即灰平面(如图1),供决策选用.但有时利用GM(1,1)模型预测所得灰区间过大,而失去了意义,或很难得到较为满意的结果.这是由于GM模型预测灰平面成一喇叭型展开,即预测时刻越远预测的灰区间越大.所以,用已知序列建GM(1,1)模型进行预测时,不用这个模型一直预测下去,而是只预测一个值,并将这个灰数补充在已知数列之后,为不增加序列长度,去掉第一个已知数据,保持数据列的等维,再建立GM(1,1)模型,这样新陈代谢,逐个预测依次递补,不断补充新的信息,使灰度逐步减低,直到完成预测目的或达到一定的精度要求为止.这种方法称为“等维灰数递补动态预测”.它可以达到两个目的:①及时补充和利用新的信息,提高了灰区间的白化度.显然,用改进后的新模型再去预测下一值,比继续用原模型进行预测要合理,且更接近实际.②每预测一步模型参数做一次 816数学的实践与认识32卷修正,模型得到改进.因而预测值都产生在动态之中.当然随着递补次数的增加灰度也在增大,信息量减少,因此,递补预测也不应是无止境的.3中国人口灰色动态预测的实证分析根据《中国统计年鉴》人口统计数据资料,运用灰色动态GM(1,1)模型,采用等维灰数递补动态预测方法,对我国总人口进行不同序列长度的预测,并进行回代检验与误差分析如下:311中长序列的灰数递补预测图1灰平面示意图分别选择1950—1980年、1960—1980年、1965—1980年、1970—1980年、1980—1990年五个不同序列,建立GM(1,1)模型,进行灰数递补动态预测,再将1981—1999年预测值与实际统计数进行误差分析如表1.表1灰数递补预测值误差检验与分析总人口1950—19801960—19801965—19801970—19801980—1990年(万人)预测值误差%预测值误差%预测值误差%预测值误差%预测值误差%19811000721025592.491036473.571025312.4619851058511113105.161120555.861093273.281061810.3119901143331238568.331229627.541188723.971135130.72199512112113669512.8513569412.031294296.861208660.211226511.26199612238913935513.8613846813.141314587.411223450.041243301.59199712362614207314.9214126814.271336228.091238250.161260041.92199812481014484616.0514406915.431358708.861253090.401276942.31199912590914769317.3014684916.631381519.721269010.711294042.78分析结果如下:1)从表中可以看出,运用长序列(20年以上)递补预测误差高于较短序列(15年)递补预测的误差,且预测时间越远,误差越大.同时也表明不能用计划生育政策实施前的人口数据,来预测未来人口的发展趋势.2)运用10年序列进行递补预测,误差较小.其中1970—1980年预测误差虽小,但人口自然增长率仍保持在12%左右,反映我国计划生育政策转型初期人口发展的自然态势,1980—1990序列预测值误差较高.其原因是该时段正值我国人口生育的一个高峰周期,因而预测值偏高.3)从表中可以算出,由于我国计划生育政策的实施,自1980年到2000年,20年间至少少生2亿3千万人左右.312短序列的灰数递补预测根据1985年以后的中国人口统计数据,采用五维、六维、七维、八维序列进行灰数递补预测,并用1995年后的实际人口数进行误差检验.结果分别列于表2—5. 5期郝永红等:灰色动态模型及其在人口预测中的应用817表211五维灰数递补预测值(万人)年总人口1986—19901988—19921990—19941991—19951992—19961993—19971994—1998199111582311567319951211211202541205891209051996122389121160121539121968122161199712362612198812240612291712319612339919981248101227441231961237741241171244121245131999125909123434123918124566124952125314125606125781表212五维灰数递补预测值误差检验(%)年1986—19901988—19921990—19941991—19951992—19961993—19971994—199819950.7160.4390.17819961.0040.6950.3440.18619971.3250.9870.5740.3480.18419981.6551.2930.8300.5550.3190.15819991.9661.5811.0670.7600.4730.2410.102表311六维灰数递补预测值(万人)年总人口1986—19911987—19921988—19931989—19941990—19951991—19961992—1997199111582319951211211212831211221210311210481996122389122495122307122192122216122269199712362612364812344112330712333712341312350319981248101247461245121243641244001244971246251247151999125909125791125534125367126066125520125682125810表312六维灰数递补预测值误差检验(%)年1986—19911987—19921988—19931989—19941990—19951991—19961992—199719950.1340.0010.0740.06019960.0870.0670.1610.1410.09519970.0180.1500.2580.2340.1720.10019980.0510.2390.3570.3290.2510.1480.07619990.0900.2980.4310.1250.3090.1800.079表411七维灰数递补预测值(万人)年总人口1985—19911986—19921987—19931988—19941989—19951990—19961991—1997199211717111743319951211211218231215251213061212081996122389123224122864122583122449122393199712362612459112418712384812367712360012359619981248101259151254741250941248871247901247841248031999125909127206126711126297126066125947125941125967 818数学的实践与认识32卷表412七维灰数递补预测值误差检验(%)年1985—19911986—19921987—19931988—19941989—19951990—19961991—199719950.5800.3340.1530.07219960.6820.3880.1580.0500.00319970.7810.4540.1800.0410.0210.02419980.8850.5320.2880.0620.1690.0210.00619991.0300.6370.3080.1250.0300.0250.046表511八维灰数递补预测值(万人)年总人口1985—19921986—19931987—19941988—19951989—19961990—19971991—1998199311851711891619951211211218591215591213781996122389123308122929122685122543199712362612475612429512398712379612371019981248101262031256691252951250521249381248921999125909127622127036126602126309126164126102126057表512八维灰数递补预测值误差检验(%)年1985—19921986—19931987—19941988—19951989—19961990—19971991—199819950.6090.3620.21219960.7510.4410.2420.12619970.9140.5410.2920.1380.06819981.1160.6880.3890.1940.1030.06519991.3610.8590.5500.3180.2030.1530.118对以上五—八维四种短序列的灰数递补预测值及其误差检验,分析结果如下:1)四种短序列的递补预测误差普遍小于中长序列(10年以上)的预测误差.2)四种短序列的递补预测误差规律性较强,各误差表中左下角最大,向上与向右逐步减低,这表明:预测时间越远误差越大,而构成预测序列的时间越近预测误差也越小.3)在四个短序列中,六维序列的预测值与实际数最为接近,误差大多数都在011%以下;七维序列的预测值误差也很小.从表中可见,预测一年的误差大部在011%以下,而预测五年的误差也大部在015%左右.4)预测序列(即维数)越短,预测值收敛的越快,也就是自然增长率下降的越快.可见,通过调整预测序列长度就可以适应人口增长速度的要求.4中国2050年总人口的灰色动态预测根据以上对中国总人口预测的实证分析,本文分别运用最新的五维—八维序列对中国总人口进行了未来50年预测,结果列于表6: 5期郝永红等:灰色动态模型及其在人口预测中的应用819表6中国人口2050年灰色动态预测结果年总人口(万人)年自然增长率(‰)年净增人口数(万人)五维六维七维八维五维六维七维八维五维六维七维八维19991257811258821259721260579.329.3710.0510.3191710721162124720001267441269491271031272378.599.299.6910.0293610671131118020011276011277561282061284007.778.759.359.7685710071103116320021283801289081292731295497.028.259.019.517799521067114920031299041298151303121306816.387.788.689.287149071039113220041297481306821313241317995.787.368.379.076548671012111820051303401315061323071328975.246.958.078.85592824983109820061308821322841332621339734.766.567.788.62542778955107620071313741330281341881350344.316.207.518.41492744926106120081318241337341350901360343.915.867.248.21450706902104520091322321344041359661371063.555.536.998.01408670876102720101326001350421368121381163.225.236.747.82368638846101020151340081377801406961429101.993.955.626.9222849273292620201344961398881440281472981.242.994.706.1314438062884620251354721414961468721512960.822.253.935.438029253277020301358401427361492881549340.501.733.284.816421645270420351361281436961513441582240.351.312.744.266416838463620401363841444641530961612000.361.052.303.786413632857220451366401451041545761638840.380.861.933.343211228051620501368961456001556321663160.350.701.632.973264232472通过对总人口数、自然增长率和年净增人口数的综合分析,本文建议采用五维和六维序列的预测值分别作为中国总人口数的上限与下限,其理由是:1)先从人口自然增长率来看,1997年实际为10106‰,1998年开始降到10‰以下,为9153‰,1999年为8177‰,与五维序列的预测值最接近.2)再从净增人口数来看,1997年实际为1237万人,1998年已降到1184万人,1999年为1099万人,与六维序列预测值十分接近.3)最后从总人口预测值来看,他完全符合人口增长的S形曲线规律,且曲线的特征值不是人为的、硬性的假设,而是人口历史发展内在的、客观规律的自然体现.5结论通过以上对中国总人口的实证分析和总人口的数量预测,可以得出以下结论:1)中国人口自然增长率在2010年将下降到5‰左右,每年净增人口数将由1000万下降到500万左右.到2030年人口自然增长率为1173—015‰左右,年净增人口数约216—64万,而到2050年人口自然增长率将下降到017—0135‰左右,年净增人口数约64—32万.那时,中国基本上实现了人口零增长. 820数学的实践与认识32卷2)中国总人口到2004年底达13亿,到2025年左右才有可能达到14亿,2050年最多达1415亿.如果计划生育工作继续有效贯彻,再加上随着社会经济的发展和精神文明的深入,人们思想意识的变化,中国的最终极限人口将不会超过15亿.3)实践表明,灰色预测特别适用于那些因素众多、结构复杂、涉及面广而层次较高、综合性较强、互相性较好的社会经济系统指标的趋势预测,诸如总人口、生产总值、总产量、总收入、消费总额等.参考文献:[1]宋健等1人口预测和人口控制[M].人民出版社,19801[2]陈玉光等1中国人口结构研究[M].山西人民出版社、中国社会科学出版社,19841[3]刘文等12000年中国环境经济预测[M].中国环境科学出版社,19871[4]刘铮等1中国人口发展战略[M].山西人民出版社,19921[5]牛文元等12000年中国可持续发展战略报告[M].科学出版社,20001[6]王学萌1灰数等维递补动态预测[J].华中理工大学学报,1989,40:9—16.[7]邓聚龙1灰色系统理论教程[M].华中理工大学出版社,19901[8]王学萌等1灰色系统方法简明教程[M].成都科技大学出版社,1993.[9]王学萌等1灰色系统分析方法论初探[J].系统辩证学学报,1995,21TheDynamicModelofGraySystemandItsApplicationtoPopulationForcasting12HAOYong2hong,WANGXue2meng(1.InstituteofEnvironmentandResources,ShanxiUniversity,Taiyuan030006,China)(2.InstituteforINtegratedSurveyofAgricultureResourceShanxiProvince,Taiyuan030006,China)Abstract:Insustainabledevelopment,populationisakeyfactor.Inthisessay,thepopulationofourcountryisforecasteddynamicallythroughgraysystemmodelsandmethods.Examinationindicatedthatthemodelsarereasonableandsimpleandtheresultsofforecastconformtoreality.Theconclusionsareusefultopolicy2makingbody.Keywords:dynamicforecastingwithrecursivecompensationbygraynumbersofidenticaldimensions;graysystem;sustainabledevelopment;populationforecast