以直代曲 精彩绝伦——从一道模考题的错解谈起

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1、中学数学研究2010年第3期1)(∈N，≥2)化为a+1—3(12+1)=s+1=3(+2)2a+2—3(咒十1)2a+l+s十1一(a一3)不分奇偶解，也因不管的范围而一s(，zEN)，即(S+2+S+1)a+2=3(得不出正确结果，例2学生也习惯于直接套用+2)a+2—3(+1)2a+1+(S+l+S)a+1f＆，f=1(EN)(到此学生就做不下去了)，继续即公式as：'_s一(≥2)而受阻，即下面的[S+2+S+1～3(+2)2]a+2=[S+1十S解法2．一3(+1)]a+1(EN)，又[s2+S1—3(1解法2：在s+1=3(7z+1)a+1+s(咒+1)

2、2]口2=[口2十2口1—12]a2=0，S+1十Sn一∈N)中，换为+1得s+2=3(+3(+1)=0，即S十1+S=3(+1)(∈2)a+2+s+1(∈N)，相减得s+2一N)．以下同解法1，略．盥e业业业业业业业逝韭业业韭业业鞋啦业船啦业逝韭业坐坐业以直代曲精彩绝ge-——从一道模考题的错解谈起浙江杭州外国语学校(310023)徐国君俗话说“失败乃成功之母”，此话一点不假．法：笔者在解答杭州市2009年第二次高考科目教解：利用函数图像得知函数f(z)在区间学质量检测数学(理)的最后一题中，遇到了类(0，3]内是上凸函数，所以由题意利用琴生不等似的经历．并且从纠

3、正错解的过程中，也惊喜地式可得f(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯+f(a2oo9)发现了一种解决一类问题的重要的思想方法~3．设g(z)=z—In(x—P)，则g(z)=1一(1)求函数f(z)的单调区间；，且>，令g()=0，得=P+1，当(2)若关于z的方程f()一a=0恰有一

4、0，此时g(z)单调递个实数解，求实数a的取值范围；减；当z>+i时，g(Iz)>0，此时g()单调(3)已知数列{a}满足：06026．等式厂(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯+f(a2oo9)≤解答完毕，还自信满满．但是事后慢慢推—In(—P)在∈(P，十oo)时恒成立，求实敲，却发现有漏洞，问题出在“函数f()在区数P的最小值．间(0，3]内是上凸函数”这是个错误的结论，事二、错解的剖析实上函数f()在区间(0，3]上

5、存在二阶导数笔者顺利地解决了第(1)(2)小题，在解决的拐点，所以凹凸性不一致．所以就不能利用琴第(3)问时，笔者犯了经验主义的错误，觉得结生不等式加以解决．到底怎么解决呢?笔者陷构很像琴生不等式．因此就草率的得到如下解入了沉思．·39·2010年第3期中学数学研究通过仔细的结构分析，若令M：厂(a1)+是这一思想方法的集中体现——等式左边是f(a2)+f(a3)+⋯+f(口2o09)，猜测M一=曲线函数的函数值，右边是在某点处的切线(直线)函数的函数值．有了这一发现，笔者跃跃欲6027．最大值在口1=a2：3=⋯=a2oo9=1时试．取到．所以z=吉是个关键点，而

6、函数f(X)在IN,方法的应用1．在最值求解中的应用z=专处的切线方程的斜率：k=厂(专)=若a，6，f，d∈R，且n+b+c+：1，9一10，则切线为一3=一(z一号)=·求南+南+南+南的最地(11—3x)．并且不难证明：有厂()}≤解：构造函数-厂(．z)，z∈(0，1)，则~0(11—3z)铮(z一3)(z一1)≤0成立。所以问题转化为求f(a)+f(b)+f(c)+f(d)的最大值．由于条件里条件的轮换对称性，猜测取有厂(口)≤(11—3a)，扣l，2，’一，2009，则2009^2009，’到最大值时口=6=c==丢，厂(z)=Ef(口)~60[11x2

7、009—3(Ea)]=~0(11×一2009—2009)=6027，即M一=6027，所以问题{妄，厂(丢)=一768，({)：64，则转化为不等式—ln(x一)≥(-厂(口1)+f(a2)+⋯+f(a2oo9))一=6027在(P，+。o)上恒成函数厂(z)=，6(o，1)在z=丢的切线立．设g(x)=z—ln(x—P)，则g(z)=1一方程为y-64(68—12z)，令(z)=—L～p，且z>，令g()=0，得z+1，当x-一(68—12x)，∈(0，1)，^(z)=P<+1时，g(z)>0，此时g(x