一道高三调考题繁解、错解、简解

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1、一道高三调考题的繁解、错解、简解湖北巴东一中(444300)张世林谭柱魁问题：（武汉市高三调考题）已知函数．(1)．若函数在区间上恒为单调函数，求实数的取值范围；(2)．当时，不等式恒成立,求实数的取值范围．　此题主要考查利用导数知识作工具，研究函数的单调性，处理不等式恒成立问题，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高．其中第（２）小题，难度较大，考生的答题情况并不理想．现就此小题的解法分析如下．命题者给出的繁解：，由　得到：，化简为：　　①　时,有，则，故　　　　　②构造函数，求导，则在时取得极大值，同时也是最大值，故．从而在上恒成立，故③在时恒成立，而时③式取等号，故④在

2、时恒成立，因此由②④可知实数的取值范围：．上述参考解法采用了参数分离法求范围，问题的难点在于如何求②式右端的函数的最小值（或下确界），其中构造函数并利用其单调性进行放缩，技巧性特强，要求极高．虽然构造函数来解决此类问题是通法，但为什么要构造这样的函数？它和题设究竟有何联系？直接分析还是比较困难，学生很不容易想到，因而这是问题的难点所在．事实上，有近一半的学生做到了②式这一步，他们希望直接求②式右端的函数的最小值（或下确界），由于过分繁难未能达到目的．于是他们只得另辟蹊径．学生歪打正着的错解：构造函数，，注意到，所求问题转化为对任意的恒成立．即在3上为增函数，从而在恒成立，而

3、，故在恒成立，由于，即，故在为增函数，令，则在，恒成立，即，从而，故实数的取值范围：．此解答的结果与正确答案完全一致，乍一看来，似乎简捷明了，无懈可击，但仔细分析起来，不难发现其中的破绽，“由对任意的恒成立，直接推得在上为增函数．”此推理显然不一定成立．如右图所示．虽然此解法歪打正着，但它为正确求解提供了有益的启示师生合作共探的简解：构造函数，，注意到，所求问题转化为对任意的恒成立．因为＝，当时，由于，故，从而在为增函数，对任意的恒成立．当时，，因为，对时，，在是减函数，于是，与题设不合，舍去．综上：实数的取值范围是．此解法思路自然，过程清晰，与参考答案相比，更容易为学生所

4、接受，对导数知识及其工具作用的考查达到了融会贯通的深度．热身训练．设函数．（Ⅰ）证明：的导数；3（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．．（２００６年高考全国卷Ⅱ）设函数，若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．答案：1.的取值范围是；2.的取值范围是不等式恒成立与有解的问题，在近几年的高考试题中频繁出现，其中，特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题，将新增内容与传统知识有机融合，用初等方法难以处理，而利用导数来解，思路明确，过程简捷流畅，淡化繁难的技巧，它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法，而且还考查极限、导数等新增内容的掌握和灵活运用．这类试题常与思想

5、方法紧密结合，体现能力立意的原则，突出了高考试题与时俱进的改革方向．因此，越来越受到高考命题者的青睐，对此希望引起师生的高度关注．3