数列常见数列公式

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1、常见数列公式等差数列1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）2．等差数列的通项公式：或=pn+q(p、q是常数))3．有几种方法可以计算公差d①d=－②d=③d=4．等差中项：成等差数列5．等差数列的性质：m+n=p+q(m,n,p,q∈N)等差数列前n项和公式6.等差数列的前项和公式（1）（2）（3），当d≠0，是一个常数项为零的二次式8.对等差数列前项和的最值问

2、题有两种方法:（1）利用：当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值（2）利用：由二次函数配方法求得最值时n的值等比数列1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）2.等比数列的通项公式:，3．｛｝成等比数列=q（,q≠0）“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列

3、：非零常数列．5．等比中项：G为a与b的等比中项.即G=±（a,b同号）.6．性质：若m+n=p+q，7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8．等比数列的增减性：当q>1,>0或01,<0,或00时,{}是递减数列;当q=1时,{}是常数列;当q<0时,{}是摆动数列;等比数列前n项和等比数列的前n项和公式：∴当时，①或②　　当q=1时，当已知,q,n时用公式①；当已知,q,时，用公式②.数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定

4、义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.解：设数列公差为∵成等比数列，∴，即∵，∴………………………………①∵∴…………②由①②得：，∴点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。二、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。解：由当时，有……，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合

5、写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。(2004全国卷I.22)已知数列中,,其中……，求数列的通项公式。P24（styyj）例3.已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型2（1）递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。(2004全国卷I.15)已

6、知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项P24（styyj）例4.已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，（2）．由和确定的递推数列的通项可如下求得：由已知递推式有，，，依次向前代入，得，简记为，这就是叠（迭）代法的基本模式。（1）递推式：解法：只需构造数列，消去带来的差异．例5．设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减

7、得转化为求之.例6．已知，，求。解：。类型3递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。(2006.重庆.14）在数列中，若，则该数列的通项P24（styyj）例7.已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型4递推公式为（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）（2006全国I.22）（本小题满分12分）设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；P25（styy

8、j）解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例8.已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。（2006.福建.理.22）（本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；P26（s