求解数列通项公式的常用方法

《求解数列通项公式的常用方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、求解数列通项公式的常用方法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一．观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，⋯14916（2）1,2,3,4,K251017212（3）1,,,,K3251234（4）,-,,-,K23451234解：（1）变形为：10－1，10―1，10―1，10―1，⋯⋯n∴通项公式为：a=1

2、0-1n2n2n+1n（2）a=n+;（3）a=;（4）a=(-1)×.n2nnn+1n+1n+1观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。二、定义法例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等2比数列，若函数f(x)=(x－1)，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；22解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)，a3=f(d+1)=d，22∴a3－a1=d－

3、(d－2)=2d，22∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q，b3=f(q－1)=(q－2)，2b3(q-2)2∴==q，由q∈R，且q≠1，得q=－2，2b1qn－1n－1∴bn=b·q=4·(－2)当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、叠加法例3：已知数列6，9，14，21，30，⋯求此数列的一个通项。解易知a-a=2n-1,nn-1∵a-a=3,21a-a=5,32a-a=7,43⋯⋯a-a=2n

4、-1,nn-12各式相加得a-a=3+5+7+L+(2n-1)∴a=n+5(nÎN)n1n一般地，对于型如a=a+f(n)类的通项公式，只要f(1)+f(2)+L+f(n)能进n+1n行求和，则宜采用此方法求解。四、叠乘法例4：在数列｛an｝中，a1=1,(n+1)·an+1=n·an，求an的表达式。an+1n解：由(n+1)·a=n·an得=，n+1an+1naaaaa123n-111n=234…n=××L=所以a=··naaaaa234nnn1123n-1一般地，对于型如a=f(n)·an

5、类的通项公式，当f(1)×f(2)L×f(n)的值可以求n+1得时，宜采用此方法。五、公式法若已知数列的前n项和S与a的关系，求数列{a}的通项a可用公式nnnnìSnLLLLn=1an=í求解。îSn-Sn-1Ln³2例5：已知下列两数列{an}的前n项和sn的公式，求{an}的通项公式。（1）31。（2）s=n2-1Sn=n+n-n解：（1）a=S=1+1-111332a=S-S=(n+n-1)-[(n-1)+(n-1)-1]=3n-3n+2nnn-12此时，a=2=S。∴a=3n-3n+2

6、为所求数列的通项公式。11n（2）a=s=0，当n³2时1122a=s-s=(n-1)-[(n-1)-1]=2n-1nnn-1ì0(n=1)由于a1不适合于此等式。∴an=íî2n-1(n³2)注意要先分n=1和n³2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。例6.设数列{an}的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系3tS-(2t+3)S=3t(t>0,n=2,3,4,L)nn-1求证：数列{a}是等比数列。n解析：因为3tS-(2t+3)S=3t(t>0,n=2,3,4,L)LL(1)nn-1所

7、以3tS-(2t+3)S=3t(t>0,n=2,3,4,L)LL(2)n-1n-2(1)-(2)得：3t（S-S)-(2t+3)(S-S)=0(t>0,n=2,3,4,L)nn-1n-1n-2an2t+33ta-(2t+3)a=0=(n³2,nÎN)nn-1a3tn-1所以，数列{a}是等比数列。n六、阶差法例7.已知数列{a}的前n项和S与a的关系是nnn1S=-ba+1-，其中b是与n无关的常数，且b¹-1。nnn(1+b)求出用n和b表示的an的关系式。ìSnLLLLn=1解析：首先由

8、公式：an=í得：îSn-Sn-1Ln³2ba=12(1+b)bba=a+(n³2)nn-1n+1b+1(1+b)2bb2ba=()a+n-1n-2n+1b+1b+1(b+1)3b2b3b()a=()a+b+1n-2b+1n-3(b+1)n+1LLLLn-1bn-2bn-1b()a=()a+21n+1b+1b+1(b+1)n-123n-1æböb+b+b+L+ban=ç÷a1+n+1èb+1ø(b+1)n2n-1bb+b+L+b=+n+1n+1(b+1)(b+1)ìnLLLLb=12nï