作业义—面角作业课

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时间:2019-03-09

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1、复习讲义(4)二面角复习课 一、教学目标:1.使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念;2.使学生掌握求二面角平面角的基本方法,不断提高分析问题和解决问题的能力.二、重点和难点:使学生能够作出二面角的平面角;根据题目的条件,作出二面角的平面角.三、教学过程1.复习二面角的平面角的定义.空间图形的位置关系是立体几何的重要内容.解决立体几何问题的关键在于做好:定性分析,定位作图,定量计算,其中定性是定位、定量的基础,而定量则是定位,定性的深化.在面面关系中,二面角是其中的重要概念之一,它的度量归结为平面上角的度量,一般说来,对其平面角的定位是问题解决的关键一步.可是学生往往把握不住其定位的基

2、本思路而导致思维混乱,甚至错误地定位,使问题的解决徒劳无益.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。看右图.如图1:α,β是由l出发的两个半平面,O是l上任意一点,OCα,且OC⊥l;ODβ,且OD⊥l.这就是二面角的平面角的环境背景,即∠COD是二面角α-l-β的平面角.从中我们可以得到下列特征:聞創沟燴鐺險爱氇谴净。(1)过棱上任意一点,其平面角是唯一的;(2)其平面角所在平面与其两个半平面均垂直;另外,如果在OC上任取一点A,作AB⊥OD,垂足为B,那么由特征(2)可知AB⊥β.突出l,OC,OD,AB,这便是另一特征.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(3)体现出一完整的三垂线定理(或逆定理)的条件背景.特征(1)

3、表明,其平面角的定位可先在棱上取一“点”.耐人寻味的是这一点可以随便取,但又总是不随便取定的,它必须与问题的条件背景互相沟通,给计算提供方便.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。例1 已知:如图2,四面体V-ABC中,VA=VB=VC=a,AB=BC=CA=b,VH⊥面ABC,垂足为H,求侧面与底面所成的角的大小.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。分析:由已知条件可知,顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心,所以连结CH交AB于O,且OC⊥AB,由三垂线定理可知,謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。VO⊥AB,则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角.(图2)第5页共5页正因为此四面体的特性,解决此问题,可以取AB的中点O为其平面

4、角的顶点,而且使得题设背影突出在面VOC上,给进一步定量创造了得天独厚的条件.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。特征(2)指出,如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ,那么l必垂直γ与α,β的交线,而交线所成的角就是α-l-β的平面角.(如图3)茕桢广鳓鯡选块网羈泪。由此可见,二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”.例2 矩形ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线BD把△ABD折起,使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上,求二面角A-BD-C的大小的余弦值.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题,解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”.如果在平面图形中过A作AE⊥BD

5、交BD于O、交BC于E,则折叠后OA,OE与BD的垂直关系不变.但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面,此平面必与棱垂直.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。由特征(2)可知,面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角,即为所求二面角的平面角.另外,A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上,又题设射影落在BC上,所以E点就是A′,这样的定位给下面的定量提供了可能.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。在Rt△AA′O中,∠AA′O=90°,通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算,特征(2)从另一角度告诉我们:要确定二面角的平面角,我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”,然后,在棱上选取一适当的垂线段,即可确

6、定其平面角.“平面图形”与“立体图形”相映生辉,不仅便于定性、定位,更利于定量.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。特征(3)显示,如果二面角α-l-β的两个半平面之一,存在垂线段AB,那么过垂足B作l的垂线交l于O,连结AO第5页共5页,由三垂线定理可知OA⊥l;或者由A作l的垂线交l于O,连结OB,由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l.此时,∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.(如图6),由此可见,二面角的平面角的定位可以找“垂线段”.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。课堂练习1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,E为BC的中点,求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值.擁締凤袜备訊顎轮

7、烂蔷。练习1的条件背景表明,面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角,由特征(2)可知,这两个二面角的大小必定互补.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。为创造一完整的三垂线定理的环境背景,线段C1D1会让我们眼睛一亮,我们只须由C1(或D1)作B1E的垂线交B1E于O,然后连结OD1(或OC1)即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1,坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。2.将棱长为a的正四面体的一个

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