[整理]收益法中的主要技术方法(公式推导)

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1、收益法中的主要技术方法(-)纯收益不变数列求和的基本公式有：23d+d+d+・・・+d"二a(l—a")I—。公式p=%在第一年的年末所能得到的纯收益为A元，要将其折算为现在的价格时，只要将A元乘复利现值系数即可，即:ax-L=A1+r1+r第二年的年末所能得到的纯收益A元，要折算为现值时,同样应为:ax(T77)%(T77)二侖第n年则知AX討^二扁将各年合计，则收益现值P=1+r佶+……+需这是一个首项为丄，公比为丄1+r1+r,项数为n的等比级数。根据等比级数求和公式，0+/+/+...+/=仝口得:

2、1-a(-—)[!-(-—)“]p—a1+厂1+厂A-1-r(1+厂)"当n—8时p=—rp=AxFi-——!——r（1+r）n当收益年期有限时，根据上述公式推导成立。（-）纯收益在若干年后保持不变1、无限年期收益公式2T6P逹需+点2、有限年期收益公式2-17相当于p=f&+a幺(l+Mr(l+rfP=Ri(%,r,1)+……R5(%,r,5)+A(P//,r,N—n)X(%,r,n)（三）纯收益按等差级数变化先看公式2-20P=f+纟）X”侖］-晋命（收益年限有限条件下）当纯收益为逐年递增，每年递增额为

3、b,则：收益第一年为a,第二年为a+b,第三年为a+2b,第n年为a+(n—1)b则收益现值2徵+辟+(宀a+2b_

4、__

5、_a+{n-)b(1+0"=Snl+Sn2X—侖+……+希S"尸侖+需+……+鵠=bX…①1277-1(1+厂)2+(l+r)3+…+(1+厂)”将①式两边同乘以(1+r),则有:(1+r)Sn2=bX1亡+2•击+3・r+(1+r)3…+(m—1)•(1+厂)心…②②式减去①式:r•Sn2=b•111弟+(1+门2+(1+门3+…+r•Sn2=b•1111+++•••+++r(1

6、+厂尸(1+r)3(l+C'i(1+厂)”(1+厂)"1_(l+r)nb-n(1+厂)”n(1+厂)"P=Snl+Sn2=±-+1*1-1r_(1+rfJr2L(l+r)nJ1—(1+r)bn(1+0”(ab、-1—+—•1L(l+r)nJhnd+rf公式2—20成立。当n-oo取极限时,P=^+4，公式2-19成立。r厂公式2—21、公式2-22同上推导，数列为a,a—b,a—2b,,a—（n—1）b。注意正负号，则推导成立。（四）纯收益按等比级数变化公式2—23设A。为上年纯收益，资产收益逐年递增比率为

7、s,则有:A=Ai%=Ao•(1+s)A2=Ai=Ao•(1+s)•(1+s)=A0•(l+5)2At=Ao•(i+$y当收益年期无限时（设收益现值为p°）:++(3(1+川++A)(l+s)"(1+厂)”中括号中为一幕级数求和，当s〈r时，收敛，其和为土r-s当S>r时，发散，无法估算。・・・Po=Ao•Ai为当年收益，计为A(因年收益均相等)，P。为所求现值,则为P即：p=4r-s公式2-24P=—r_如推导公式2-23所示：P°=A°•曲+叫+•••+怦(1+厂)(1+r)~(1+讥根据等比级数求和公

8、式，上式中，首项为A。•戶，公比为兰1+r1+rSn=T+Ld+厂丿Aq-(1+5)-1-(1+厂丿1-1+5i+7因Ao•(1+S)=A1=A,Sn=P所以p=公式2—24成立公式2—25,2—26,如公式2—23,2—24推导类似,纯收益按等比级数递减，则有:通式为Po=Ao•得+册+…+刖•••Ao•(l-$)=Ai=Ar+s11+广丿当n—oo时，P=r+5为公式2—26为公式2—25收益法现值计算最般的公式为:4（1+广】）（1+厂2）4:（1+人）（1+小…（1+乙）式中,A八A?、……九分别为

9、未来各年的纯收益□、r2.……"分别为未来各年的折现率（收益率或资本化率）说明：①本公式实际上是上述收益法基本原理的公式化。②当公式中的A、r、n变化时可以导出上述各种公式。③本公式只有理论分析上的意义，实践中无法操作。