2009年福建省质检解析几何题的高数背景探究

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1、题目：(如图1所示)已知椭圆C的离心率幺(I)求椭圆C的方程;直线AP与州0交于点S.试问：当加变化吋，点S次曲线c2009年福建省质检解析几何题的高数背景探究A(—2,0),A(2,0).(II)设直线a：=my+1与椭圆C交于P,Q两点,是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.本题是一道具有射影几何背景的解析几何题，命题人将高等数学观点初等化，进而命制出这样一道立意深远的试题.为了探究本题的高数背景，让读者知道知识的来龙去脉，本文首先介绍射影几何的极点、极线概念，并引用射影几何中的3个定理，接

2、着给出该题结论的几个推广，在此基础上进一步揭示往年高考解析几何題所蕴涵的射影几何背景.一.射影几何知识点简介1.射影几何中极点、极线的定义在射景几何中，如图2所示，给定二次曲线c,点P不在曲线c上，过P作直线与曲线MPOMc交于两点，如果Q是直线上一点使±_2=-1,则称点P与Q关于二亠m}qpm22.二次曲线中有关极点、极线在的几个结论结论1:过二次曲线Ar，+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上一点M(xo,)'o)的切线方程为，山(丿+〃•如于区+Cyoy+D•苇兰+E•驾2+F=0,置换规律为x2,bTyyxt号,yT专mt逬空•结

3、论2：过二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dr+Ey+F=0内一点M(x0,y0)的诸弦端点处的切线交点的轨迹方程为Ax()x+B・X°y；X"+Cy()y+D・^^+E・^^+F=O.结论3：过二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0外的直线Ax()x+B・X°y；X"+Cy()y+D・^^+E・^^+F=O上任一点作曲线的切线(可作两条切线)，则切点连线都交于一点M(xQ,yG).上述3个结论在射影几何中把点M(x0,>?0)称为二次曲线Ax?+Bxy+Cy2+ZZr+Ey+F=0的极点，直线心()兀+B•“°•'、*%兀+€%

4、『+»•+E•+F二0称为二次曲线的极线.极点与极线是一个统一体，相辅相成，互相确定.特别地当点M(x0,y0)为二次曲线的焦点时，便有如下结论：结论4：若点M(x0,.y0)为二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F-0的焦点，则点册(勺，儿)的极线是该焦点所对应的准线•反之亦真•2.二次曲线中有关极点、极线的3个定理定理1:(如图3所示)内接于一个非退化二次曲线的简单四点形的两对对边的交点及对顶点的切线的交点必四点共线「门.定理2：不在二次曲线上的点总有确定的极线［门.定理3：若点M(Xo?o)不在二次曲线上，则点M(x0,y0)

5、关于二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dc+Ey+F=0的极线方程为：Axox+B•应如+如+»4+£•也+F=0.一.省质检题的射影几何背景探究由定理1知道，内接于椭圆C的四点形A.QA.P的对两条对边A,P,A，2的交点S,与过点P,Q切线的交点在同一直线上.弦W.PQ都过定点(1,0),由结论2可知，直线A^A2Q的交点S所在的直线方程，是点(1,0)关于椭圆C所确定的极线方程，根据定理3易得直线方程为兀二4.二.省质检题的几个推广结论从上述射影几何中的4个结论和2个定理及省质检题的背景分析，容易得出省质检题具有如下几个推广结论：22结

6、论5：已知椭圆C:兰^+・=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是人，人，设直线0b-%=my+n(n0上>0)，点、2(h,0)(

7、h

8、

9、交椭圆C于点A、B、M、N,则直线AN、MB的交点在定直线x=—±.nX2V2结论8：已知椭圆C:—+=1(a>0,b>0),A>o)(xo-y(}0),过点的两crZr•条弦分别交椭圆C于A,B,M,N,则AN,MB的交点在定直线b2xox+a2yoy-a2b2=0.注：结论5〜8把椭圆换成双曲线或抛物线也有相应的结论.一.高考题的射影几何背景赏析近几年数学高考题中具有现代数学背景的考题是十分常见的，而解析几何若要体现现代数学背景，往往可以从射影几何中找到其影子.22例1・(2006年湖北卷)如图4所示，设A、B分别为椭圆兰v+厶~=1(

10、d>0,/?>0)的erb~左、右顶点，椭圆半长轴长等于焦距，且兀=4为它的右准线.(I)求椭圆的方程；(II)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP,BP分别与