1981年高考数学 理工农医类、全国卷 真题

《1981年高考数学 理工农医类、全国卷 真题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1981年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B。二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果。三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是。第10页共10页四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明。五、解不等式(x为未知数):六、

2、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立。第10页共10页七、设1980年底我国人口以10亿计算。(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1

3、.5157=0.18060八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.第10页共10页(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆

4、有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,……,uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;求证:un=un-1+un-2(n≥3).第10页共10页1981年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）参考答案一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B=.(或A∩B={},或A∩B=空集.)二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,

5、AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、解:(1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得

6、a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法第10页共10页以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的

7、解是x≠0,x>a+b+c.所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.第10页共10页根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10,10×1.02,10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤

8、12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、解:(1)在平面P内作直线