例谈分类讨论数学思想在解题中的应用

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1、例谈分类讨论数学思想在解题中的应用近年来，在各地中考试题中涉及到“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查学生的数学基本知识与方法，而且考查了学生思维品质的深刻性。然而从近几年的中考阅卷中发现学生在解此类问题时，考虑不周全导致失分较多，究其原因主要是平时的教与学中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够。本文将主要从2003年中考试题中举例说明“分类讨论”的数学思想在解题中的应用，这对提高同学们全面分析问题的能力以及养成严谨的思维品质都是有较大益处的。一、直线型中的分类讨论：例1、（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C均为锐角，其对边分别为b、c，求证

2、：=；（2）在△ABC中，AB=，AC=，∠B=450，问满足这样的△ABC有几个？在图2中画出来（不写作法，不述理由）并利用(1)的结论求出∠ACB的大小。(2003年荆门市)简评：本题第一小题是课本上的原题，第二小题则要分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，而初中学生很容易忽视钝角三角形的情况，因为课本上只讲锐角三角函数，导致解题不完整。第二小题解答如下：例2、操作：如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E．探究：（1）观察操作结果，哪一个三

3、角形与△BPC相似？并证明你的结论；（2）当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少？(2003年昆明市)略解：第一问：如图（1），另一条直角边与AD交于点E，则△PDE∽△BCP，证明：在△PDE和△BCP中，∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1=∠2，又∠PDE=∠BCP=90°，∴△PDE∽△BCP；或如图（2）若另一条直角边与BC的延长线交于点E，同理可证△PCE∽△BCP或△BPE∽△BCP；第二问和第一问也要分两种情况，如图（3）、（4）例3、如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上滑动

4、，当CM＝＿＿＿＿时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似。（2002年桂林市）本题要求△AED与△MNC相似时，没有具体指明边和角的对应关系，因此要分类讨论，当AD与CM对应时，，，CM=；当AE与CM对应时，，可以求出CM=；二、方程中的分类讨论：例4、关于x的方程kx2－4x－3=0有实数根，求k的值。（十堰市中考题）本题首先要考虑到的x2系数是字母k，因此要对字母k讨论：①当k=0时，原方程为一元一次方程，它有实数根，所以k=0；②当k≠0时，原方程为一元二次方程，要使它有实数根，则△≥0，得到k≥，所以k≥且k≠0；综合①、②得到k的取值为k≥.例5、已知方

5、程2x2+3x－m=0，用实数m的代数式表示.本题首先要对方程的△进行讨论，①当△≥0时，即m≥时，=；②当△＜0时，方程没有实数根，不能够用m表示.三、函数中的分类讨论：例6、一次函数y=kx+b的自变量取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个一次函数的解析式为__________.（2003年济南市）本题的自变量x的取值和函数值的取值的对应关系不明确，因此当x=－3时，y=－5，x=6时y=－2；也可以当x=6时，y=－5，x=－3时，y=－2；于是有：或或，所求的函数解析式是：或四、圆中的分类讨论：例7、矩形ABCD中，AB=5，BC=1

6、2，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是______________.本题首先要确定圆C的半径范围是5＜Rc＜12，然后要明确圆A与圆C可以内切，也可以外切，而AC=13，当圆A与圆C外切时圆A的半径范围是1＜Ra＜8；圆A与圆C内切时圆A的半径范围是18＜Ra＜25；因此圆A的半径范围是1＜Ra＜8或18＜Ra＜25例8、如图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0）、A（0，2）、B（2，0）的圆上一个动点，（P与O、B不重合），则∠OAB=_____，∠OPB=______.（2003年南昌市）本题源于课本，但是

7、又高于课本，人教版几何第三册习题7.2里第6题是求一条弦所对的圆周角的度数，如果对这个题理解深刻的话，可以用同样的方法解决这个问题。∠OAB=45°，当点P在优弧OAB上运动时，∠OPB=45°；当P在弧OB上运动时，∠OPB=135°，所以∠OPB=45°或135°；分类讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键时要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做到既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。