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1、例谈直线和圆的几种思想方法的探究（湖南省澧县二中杨明415500）数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，是人类思想文化宝库中的瑰宝，是数学的精髓，它对数学学习具有决定性的指导意义。在直线和圆的方程中，我们会用到数学中的几种常用思想方法，只有把这几种常用思想融会贯通，才能很好的学习直线及圆的方程。下面，我们就几种常用的思想方法，一一利用例题进行探讨。1.分类讨论思想方法当面临问题不宜用一种方法解决或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这
2、几类的结论汇总，得出问题的答案。分类讨论的关键问题就是：对哪个变量分类，如何分类．分类的原则：由分类的定义，分类应满足下列要求： （1）保证各类对象即不重复又不遗漏． （2）每次分类必须保持同一分类标准． 应用分类讨论解决数学问题的一步骤： （1）确定讨论对象和需要分类的全集．（2）确定分类标准（3）确定分类方法（4）逐项进行讨论（5）归纳小结 应该注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题作深入的研究，充分挖掘题目的已知
3、量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单。在直线和圆的方程中，讨论主要是针对直线方程中的系数。例如斜率的存在性问题，是否过定点的问题。下面通过一个例题来看看分类讨论的一般过程。例1：已知集合A={（x,y）
4、：}与B={（x,y）
5、：}满足AB=，求实数a的值.解：1）a=1时，;2)a1时，A={（x,y）
6、(a+1)x-y+(1-2a)=0}B={(x,y)
7、}①，则解得a=-1;②过（2，3），而一定不过（2，3）这一点，此时与相交为空，即AB=解得
8、a=-4或a=5/2经检练，此时两直线不重合。即当a=-4或a=-1或a=1或a=5/2时，满足AB=。在这里，我们首先考虑斜率是否存在的问题，然后再看题目的特征，得出斜率存在时也有两种情况，从而达到不漏的目的。2.数形结合的思想方法数形结合的思想方法是高中数学的重要思想方法，在直线和圆的方程中，数形结合贯穿始末。数形结合，就是通过对题目的分析，构造出相应的图象或图形，再用几何的方法来求解的方法。如何在一个题目中运用数形结合的思想，是解决与图形，图象问题的关键，怎样根据数的特征，构造出与之相对应的几何图形，并利用图形
9、的特征和规律，来解决数的问题，或将图形部分或全部转化为代数信息，削弱或清除形的推理部分，使之要解决的问题转化为数量关系的讨论。例2：过点P(2,3)且被两直线3x+4y-7=0和3x+4y+8=0截得线的长为3的直线方程是_______________________.解：如图，已知直线3x+4y-7=0与直线3x+4y+8=0相互平行，则两平行线间的距离为：,DE=3,又两直线截得线段长为EF=3FDEPDF=3则k=或k=-7由点斜式得：y–3=(x-2)或y–3=-7(x-2)则:x-7y+19=0或7x+y–
10、17=0为所求。3．化归的思想方法转化与化归就是把未知问题转化为已知问题，把复杂问题化归为简单问题，把非常规问题转化为常规问题得到解决的思想。一般在直线与圆的方程中，化形为数或化数为形来解决问题。例3：求函数的最小值。解：令A(0,1)B(2,2)P(x,0)则问题转化为求点P到A,B两点距离为最小，即:最小A关于x轴对称点为A1(0,-1)即:注：此问题如从代数角度考虑比较复杂，如果借助于两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易。4．函数的思想方法函数所揭示的是两个变量之间的对应关系。通俗地讲就是一个量的变化引
11、起另一个量的变化。将几何中点的坐标的对应关系用解析式、图象和表格表示出来，这样就能充分运用函数的知识、方法来解决。例4：已知点M(-1,2)、直线l1：y=a(x+1)、曲线C：.l1与C交于A,B两点。线段AB中点为N，直线l2经过点M、N两点。且在x轴上截距为m，将m表示成a的函数，并求此函数的定义域。解：曲线C的方程可化为由设N(x0,y0)可得MN可得:当时：即： 5．运动与变化的思想方法辩证唯物主义认为，运动、变化是绝对的，而静止、不变是相对的，但是人类认识这些运动、变化是在无数相对静止中逐步认识的。这正
12、如人类从无数相对真理中去认识绝对真理那样，如通过直线认识曲线，通过常量认识变量，通过近似认识精确，通过具体认识抽象等等。在数学中，我们应该自觉地运用变化的观点去考虑、分析和认识事物，进而揭示事物的本质属性。如把曲线看作点的运动的轨迹，如果建立坐标系，再引入动点坐标，就可以使曲线与方程发生联系，从而就由代数与几何发展形成解析几何。所以，在直线与圆
