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时间：2019-01-22
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1、例谈《圆》中的思想方法一、数形结合思想方法与圆的位置关系中，数形结合的思想方法体现得淋漓尽致BCA例1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？直线AB与⊙C有几个交点？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm(3)r=3cm．解：过C作CD⊥AB，垂足为D在△ABC中，AB=根据三角形的面积公式有∴即圆心C到AB的距离d=2.4cm所以(1)当r=2cm时,有d>r因此⊙C和AB相离，直线AB与⊙C无交点（2）当r=2.4cm时,有d=r,因此⊙C和AB相切直线AB与⊙C有一个交点。（3）当r=3cm时，有d2、此，⊙C和AB相交，直线AB与⊙C有两个交点例2已知与的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距的取值范围在数轴上表示正确的是（）B．310245D．310245A．310245C．310245解析由两圆的位置关系为相交，可知圆心距＜＜，应该满足＜＜-5-，即＜＜．对照不等式组，可以确定在数轴上表示正确的为．点评本题中把两圆的位置关系（形）转化为圆心距和两圆半径之间的数量关系（数），然后再把它表示在数轴上（形），运用了两次数形结合思想．华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合思想是将抽象的数学语言与直观图形有机结合起来，使抽象思3、维与形象思维统一结合，通过图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现化难为易，化繁为简，化抽象为直观。在解决两圆位置关系的题目时，我们应注意位置关系和数量关系的相互转化，即运用数形结合的数学思想．二、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略。当问题中出现不确定的元素时，就要抓住不确定元素进行分类讨论，而不至于使问题漏解．例3⊙O的半径为13厘米，弦AB∥CD，AB=24cm,CD=10cm,求AB和CD的距离解析：弦AB,CD的位置不4、确定，有可能在圆心O的同一侧，也有可能在圆心O的两侧，需要分开两种情况讨论。解：过点O作AB的垂线，交AB于点E，交CD于点F连接OA，OC∵AB∥CD∴OF⊥CD∴AE=12，CF=5∵OA=13，根据勾股定理OF=12，OE=5当AB，CD在点O的同侧时EF=OF-OE=12-5=7cm当AB，CD在点O的两侧时。EF=OE+OF=5+12=17cm∴AB和CD的距离为17cm或7cm例4如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。若以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径？分析：题目中只是告诉我们⊙P与⊙O相切，相切有外切和内切两种，因此我们要对⊙P与⊙O外切和⊙P与⊙O5、内切两种情况进行说明。解：设⊙P的半径为R若⊙O与⊙P外切，则OP=5+R=8，R=3cm⊙O与⊙P内切，则OP=R-5=8，R=13cm所以⊙P的半径为3cm或13cm-5-变式题：与内切，且，的半径，则的半径是．解析题目中与内切，并未指明大小圆，所以应进行分类讨论．当是大圆时，有，即，所以；当是大圆时，有，即，所以；所以的半径是或．例6 已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距． 分析：两圆相交，圆心的位置有两种可能，圆心Ol，02在公共弦的异侧和圆心Ol，02在公共弦的同侧 解：分两种情况： （1）如图1，设⊙O1的半径为r1=5cm，⊙O2的半6、径为r2=4cm． 圆心Ol，02在公共弦的异侧． ∵O1O2垂直平分AB，∴AD=AB=3cm． 连O1A、O2A，则．． （cm）． （2）如图2，圆心Ol，02在公共弦AB的同侧，同理可求01D=4cm，02D=（cm）．（cm）．点评：由于点与圆的位置关系不唯一性，弦与弦的位置关系不唯一性（两弦可能在圆心的同旁，也可能在圆心的两旁），圆与圆相切不确定（外切或内切）等当问题中出现不确定的元素时，就要抓住不确定元素进行分类讨论，而不至于使问题漏解．-5-解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类7、，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。三、方程的思想方法合理运用题目中的等量关系建立方程，运用方程的数学思想，是解决问题一种重要手段．下面就课本的例题或习题举例如下：例7如图,三角形ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切与点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,AC=13cm,求AF、BD、CE的长解:设AF=xcm∵B
2、此，⊙C和AB相交，直线AB与⊙C有两个交点例2已知与的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距的取值范围在数轴上表示正确的是（）B．310245D．310245A．310245C．310245解析由两圆的位置关系为相交，可知圆心距＜＜，应该满足＜＜-5-，即＜＜．对照不等式组，可以确定在数轴上表示正确的为．点评本题中把两圆的位置关系（形）转化为圆心距和两圆半径之间的数量关系（数），然后再把它表示在数轴上（形），运用了两次数形结合思想．华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合思想是将抽象的数学语言与直观图形有机结合起来，使抽象思
3、维与形象思维统一结合，通过图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现化难为易，化繁为简，化抽象为直观。在解决两圆位置关系的题目时，我们应注意位置关系和数量关系的相互转化，即运用数形结合的数学思想．二、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略。当问题中出现不确定的元素时，就要抓住不确定元素进行分类讨论，而不至于使问题漏解．例3⊙O的半径为13厘米，弦AB∥CD，AB=24cm,CD=10cm,求AB和CD的距离解析：弦AB,CD的位置不
4、确定，有可能在圆心O的同一侧，也有可能在圆心O的两侧，需要分开两种情况讨论。解：过点O作AB的垂线，交AB于点E，交CD于点F连接OA，OC∵AB∥CD∴OF⊥CD∴AE=12，CF=5∵OA=13，根据勾股定理OF=12，OE=5当AB，CD在点O的同侧时EF=OF-OE=12-5=7cm当AB，CD在点O的两侧时。EF=OE+OF=5+12=17cm∴AB和CD的距离为17cm或7cm例4如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。若以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径？分析：题目中只是告诉我们⊙P与⊙O相切，相切有外切和内切两种，因此我们要对⊙P与⊙O外切和⊙P与⊙O
5、内切两种情况进行说明。解：设⊙P的半径为R若⊙O与⊙P外切，则OP=5+R=8，R=3cm⊙O与⊙P内切，则OP=R-5=8，R=13cm所以⊙P的半径为3cm或13cm-5-变式题：与内切，且，的半径，则的半径是．解析题目中与内切，并未指明大小圆，所以应进行分类讨论．当是大圆时，有，即，所以；当是大圆时，有，即，所以；所以的半径是或．例6 已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距． 分析：两圆相交，圆心的位置有两种可能，圆心Ol，02在公共弦的异侧和圆心Ol，02在公共弦的同侧 解：分两种情况： （1）如图1，设⊙O1的半径为r1=5cm，⊙O2的半
6、径为r2=4cm． 圆心Ol，02在公共弦的异侧． ∵O1O2垂直平分AB，∴AD=AB=3cm． 连O1A、O2A，则．． （cm）． （2）如图2，圆心Ol，02在公共弦AB的同侧，同理可求01D=4cm，02D=（cm）．（cm）．点评：由于点与圆的位置关系不唯一性，弦与弦的位置关系不唯一性（两弦可能在圆心的同旁，也可能在圆心的两旁），圆与圆相切不确定（外切或内切）等当问题中出现不确定的元素时，就要抓住不确定元素进行分类讨论，而不至于使问题漏解．-5-解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类
7、，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。三、方程的思想方法合理运用题目中的等量关系建立方程，运用方程的数学思想，是解决问题一种重要手段．下面就课本的例题或习题举例如下：例7如图,三角形ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切与点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,AC=13cm,求AF、BD、CE的长解:设AF=xcm∵B
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