2019高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法学案新人教b版

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1、2.2.2　反证法1．掌握间接证明的常见方法(反证法)的推理特点．2．学会写出命题的否定，并以此作条件推出矛盾结论，即学习用反证法证明简单题目．反证法一般地，由证明pq转向证明：____________________，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定____为假，推出____为真的方法，叫做反证法．1．反证法适宜证明“存在性，唯一性，带有‘至少有一个’或‘至多有一个’等字样”的一些数学问题．2．应用反证法证明数学命题的一般步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾

2、结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．常见的主要矛盾有：①与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾；②与临时假设矛盾；③与公认的事实或自相矛盾等．【做一做1－1】应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用(　　)．①结论的相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③【做一做1－2】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是(　　)．A．假设三角形的内角中至少有一个钝角B．假设三角形的内角中至少有两个钝角C．假设三角形的内角中没有一

3、个钝角D．假设三角形的内角中没有一个钝角或至少有两个钝角如何理解反证法？剖析：反证法证题的特征：通过导出矛盾、归结为谬误，而使命题得证．反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确，即证明命题的逆否命题成立．否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面之反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法．要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾．用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”

4、的反面为“＜”；“≤”的反面为“＞”；“＞”的反面为“≤”；“＜”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“＞”及“＜”．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性．题型一命题的结论是否定型【例题1】已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)．(1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)

5、上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．分析：应用增函数定义证明第一问；第二问的结论是否定型的，适于应用反证法．反思：在解题过程中，提出假设，分类讨论等都是在合理地增设条件，为解题提供帮助．题型二命题的结论涉及至多、至少及存在型【例题2】已知a，b，c都是小于1的正数，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于.分析：命题中有“至少、不都、都不、至多”等指示性语句时，应用直接方法证明时难度很大，根据正难则反的思想，应用反证法证明．本题中“至少有一个”的否定是“一个也没有”，然后由假设入手，应用均值不等式证明．反思：反证法证题的实质

6、是证明它的逆否命题成立，反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是A，或者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现．题型三唯一性命题的证明【例题3】求证：过直线外一点只有一条直线与它平行．分析：本题属唯一性的证明问题，用反证法证明．已知：Aa，A∈b，b∥a，求证：b唯一．题型四易错辨析易错点：运用反证法时，第一步否定结论易错．因为有些结论的对立面不易确定，从而导致错误．【例题4】用反证法证明命题“a，b为整数，若ab不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设________．错解：a，b不都是偶数．1反证法证题

7、的关键是在正确的假设下得出矛盾．这个矛盾可以是(　　)．①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、定理、公理、法则矛盾；④与事实矛盾．A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④2命题“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是(　　)．A．a＜bB．a≤bC．a＝bD．a≥b3“M不是N的子集”的充分必要条件是(　　)．A．若x∈M则xNB．若x∈N则x∈MC．存在x1∈Mx1∈N，又存在x2∈Mx2ND．存在x0∈Mx0N4设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于__________．5用反证法证明命