高考数学限时集训10圆锥曲线中的综合问题文

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1、专题限时集训(十)　圆锥曲线中的综合问题(建议用时：60分钟)1．(2018·北京模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，直线l2过坐标原点且与直线l1的斜率互为相反数．若直线l2与椭圆交于E，F两点且均不与点A，B重合，设直线AE与x轴所成的锐角为θ1，直线BF与x轴所成的锐角为θ2，判断θ1与θ2的大小关系并加以证明．[解]　(1)由题可得解得.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)结论：θ1＝θ2，理由如下：由题知直线l1斜率存在，设l1：y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，

2、y2)．联立，消去y得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，由题易知Δ＞0恒成立，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，因为l2与l1斜率相反且过原点，设l2：y＝－kx，E(x3，y3)，F(x4，y4)，联立消去y得(1＋2k2)x2－2＝0，由题易知Δ＞0恒成立，由根与系数的关系得x3＋x4＝0，x3x4＝，因为E，F两点不与A，B重合，所以直线AE，BF存在斜率kAE，kBF，则kAE＋kBF5＝k·＝k·＝k·＝0，所以直线AE，BF的倾斜角互补，所以θ1＝θ2.2．(2018·枣庄模拟)已知抛物线C：y2＝2px(0

3、距离为.(1)求C的方程；(2)已知直线l不过点P且与C相交于A，B两点，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：l过定点．[解]　(1)由题意，得2pm＝1，即m＝.由抛物线的定义，得

4、PF

5、＝m－＝＋.由题意，＋＝，解得p＝，或p＝2(舍去)．所以C的方程为y2＝x.(2)证明：设直线PA的斜率为k(显然k≠0)，则直线PA的方程为y－1＝k(x－1)，则y＝kx＋1－k.由消去y并整理得k2x2＋[2k(1－k)－1]x＋(1－k)2＝0.设A(x1，y1)，由根与系数的关系，得1×x1＝，即x1＝.y1＝kx1＋1－k＝k·＋1－k＝－1＋.所以A.由题意，直线PB的斜率为

6、.同理可得B，即B((k－1)2，k－1)．5若直线l的斜率不存在，则＝(k－1)2.解得k＝1，或k＝－1.当k＝1时，直线PA与直线PB的斜率均为1，A，B两点重合，与题意不符；当k＝－1时，直线PA与直线PB的斜率均为－1，A，B两点重合，与题意不符．所以，直线l的斜率必存在．直线l的方程为y－(k－1)＝，即y＝x－1.所以直线l过定点(0，－1)．3．(2018·郑州模拟)已知动圆E经过点F(1,0)，且和直线l：x＝－1相切．(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；(2)已知点A(3,0)，若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B、C两点，

7、求△ABC面积的最大值．[解]　(1)由题意可知点E到点F距离等于点E到直线l距离，所以动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，故：曲线G的方程是y2＝4x.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，其中－3

8、AB

9、＝4，点A到直线l的距离为d＝，∴S△＝·4＝2(3＋m)．令＝t∈(1,2)，则m＝1－t2，∴S△＝2t(4－t2)＝8t－2t3，令f(t)＝8

10、t－2t3，∴f′(t)＝8－6t2.y＝f(t)在上递增，在上递减．y＝f(t)在t＝时即m＝－时取得最大值．△ABC的最大面积为.4．(2018·江西六校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线－＝1的离心率互为倒数，且过点P.5(1)求椭圆C的方程；(2)过P作两条直线l1，l2与圆(x－1)2＋y2＝r2(0＜r＜)相切且分别交椭圆于M、N两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值(其中O为坐标原点)．[解]　(1)可得e＝，设椭圆的半焦距为c，所以a＝2c，因为C过点P，所以＋＝1，又c2＋b2＝a2，解得a＝2，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.

11、(2)①证明：显然两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由于直线l1，l2与圆(x－1)2＋y2＝r2(0＜r＜)相切，则有k1＝－k2，直线l1的方程为y－＝k1(x－1)，联立方程组消去y，得x2(4k＋3)＋k1(12－8k1)x＋(3－2k1)2－12＝0，因为P，M为直线与椭圆的交点，所以x1＋1＝，同理，当l2与椭圆相交时，x2＋1＝，所以x1－x2＝，而y1－y2＝k1(x1＋x2)－2k1＝，所以直