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1、无奇异性边界积分方程法第23卷第3期1991年5月力学ACTAMECHANICASINIC^VoL23.No.3M,1991无奇异性边界积分方程法D雷小燕王秀喜黄茂光(中国科学技术大学近代力学系)提要边界元法中如何有效地处理奇异积分,一直是^们极为关心的课题.本文提出了建立由"线潦"产生的边界积分方程,其优点是可任意阶地降低奇异性阶欢.计算实例表明,本文所提出的方法优于常规的边界元法.尤其是提高了缸移的计算精度.对边界单元硝格不等长划分,更显示出该法的优越性.关键调边界积分方程,奇异性一,引言边界元法中奇异积分的蜜值处理正确与否直接影响了其计算精度.平面
2、问题的边界积分方程中含1/,阶奇异性,其中,是源点到场点的距离.通常在奇异点附近采用高阶高斯积分.作者在文献[8】中讨论了奇异积分精度对数值结果的影响.文献[2】根据数值积分收敛性,分析了各种奇异性函数积分和高斯积分阶次的关系.利用刚体位移的概念可避免奇异积分和哥西主值的计算.边界元法解薄板弯曲的边界积分方程中,其最高奇异性阶次为l,,,按常规的边界离散格式,该项积分发散.如何避免高阶奇异性,Bezine采用分部积分,结果出现了在边界上对挠度沿切向导数项,以致自由边界未知量的精度降低一阶.Stern对挠度的插值函数在作用点附近展开,然后再求导.然而对这类
3、高阶奇异性的边值问题,在自由边界难以得到较高的精度.Stefano等人由分布理论,导出弱奇异性边界积分方程,其边界场变量采用常元插值,,并路出平面应力问题的算例,但他们没讨论如何消去高阶奇异性及数值稳定性等问题.本文提出由"线源"产生的边界积分方程,其优点是可消去任意高阶奇异性函数的边值问题,边界场变量采用线性插值.井详细讨论了如何将由"线源"产生的重积分变换成线积分及弱奇异积分的解析表达式.平面应力问题的算例表明,其系数矩阵具极好的稳定性,尤其对不等长的边界网格捌分,数值结果优于一般的边界元法.二,"线源"产生的边界积分方程以下我们以平面应力问题为例,
4、其边界积分方程可写成P)一,9)r.一j哪)r口(1)1)国家自然科学基金资助的谭题.本文于1990年1月19日收到.力学(1991年)第23卷其中P和9分别表示源点和场点.将边界r划分成Ⅳ个单元,考虑边界单元r,.,取r,为线源".同时取权函数g(,它是沿r,坐标长度变化的函数,0)的选取根据被积函数的奇异性来定,后面将详细讨论.(1)式两端乘以g0),并沿边界线段r,.积分该式,由此得:cI(P)g(v)dr,一11g(P),Q)q~(Q)drodr,.Jl"FJrJrp一Jr')(,Q)f(Q).,()离散方程(2),考虑场点的离散单元rD,和方程
5、(2)式右端第一项,G.一IIg(P)(P,Q)qj(Q)dre.dro.(3)对边界线元和边界场变量均采用线性插值F—FlⅣl+F2^b(4)N-一÷(1一),Nz一÷(1+)(5)其中F表示边界单元坐标或边界场变量.在此我们约定场点9和源点P的变量分别对应局部坐标和.这时"线源"r对r口的影响系数用G.和G..t表示,则G..表为G一G.旧1+G,鼋(6).一P.tj—lj一1g()(,)()砖(7)其中t—l,2.表示边界第个单元上两端点的应力分量..三,重积分变换法上节导出影响系数G.,如何将其重积分变换成线积分直接关系到该法的实用和有效性.以下
6、我们讨论在边界任意几何形状情况下,(3)式中G..的变换法.由(4)式,场点坐标和源点坐标可用局部坐标表示为x.一i(x口2+x.1)+1(x2一x口1)1.一(y+.)十三(一..)}'xP—i1(x十x,.)+i1(x一x,I)1,一姜y,++善Y一y}o其中下标"1"和…2分别表示边界单元两端点.奄;;:二"4-二二.inO}y口一y,一6l62}一5一rJ'式中和(—l,2,3)由(8)和(9)式导出,是与边界单元坐标有关的常数.雅可比变换式为第3期雷小燕等:无奇异性边界积分方程法一rdrdO(11)D(r,日)口'其中口一一b,(12)当4≠0
7、,由(1O)式可导出一[r(sin0一cos)+6L一f3¨}(13)口一÷[r(f2slnO一62co8日)+621一fz]J将(11)和(13)式代人(7)式,}一-I-l和一±I可定义柱坐标系(r,日)中的积分区间如图1.图中ABCD所围成的棱形用,表示.经过坐标变换式(10),方程(7)可写成G…一L一jjg(r,O))Ⅲ)坩(14)上式中.沿径向r的积分很容易解析地推导出来.至此(14)式可表为沿日方向的单变量积分.当一0时,表明边界单元.和r口.平行,首先我们讨论,,,≠n时的情况.设≠0,(10)式为:;.o--一Xj,=c,+c~g(15
8、Y)y9一P一+(f2}一)J其中一bz:一/c"令U—2一,V—】+(I6)则
