专题(教师) 函数与方程

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1、专题函数与方程1．函数零点的概念零点不是点！(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标．2．函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与有交点⇔函数y＝f(x)有．3．函数零点的判断如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有.那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．4．二分法的定义对于在[a，b]上连续不断，且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的所在的区间，使区间的两端点逐步

2、逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．5．用二分法求函数f(x)零点近似值(1)确定区间[a，b]，验证，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；①若，则x1就是函数的零点；②若，则令b＝x1，(此时零点x0∈(a，x1))；③若，则令a＝x1，(此时零点x0∈(x1，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若

3、a－b

4、<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是(　　)A．－2,3　　　　　　B．2,3C．2，－3D．－2，－3解析　由f(x)＝－x2＋5x－6＝0，得x＝2,3.即函数f(x

5、)的零点．答案　B2．(2012·北京)函数f(x)＝－()x的零点个数为(　　)A．0B．1C．2D．3答案　B-9-解析　因为y＝在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝()x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝－()x在x∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以f(x)＝－()x在定义域内有唯一零点，选B.3．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上(　　)A．有两个零点B．有三个零点C．仅有一个零点D．无零点答案　C解析　由于f(x)＝x3－x2－x＋1＝(x2－1)(x－1)．令f(x)＝0，得x＝－1,1.因此f(x)在[0,2]上仅有一个零点．4

6、．下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数零点的是(　　)答案　B解析　用二分法只能求变号零点的近似值，而B中的零点左右值同号．解析　∵c＝f(0)，∴a·c＝af(0)<0，即a和f(0)异号，所以或如图所示结合图示知函数必定有两个零点．一、零点的个数及求法例1　(1)(2012·湖北)函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为(　　)A．2　　　　　　　B．3C．4D．5【解析】　借助余弦函数的图像求解．f(x)＝xcos2x＝0⇒x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在[0,2π]上有，，，，共4个根，故原函数有5个零点．【答案】　D-9-(2)(20

7、12·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．【解析】　f′(x)＝2xln2＋3x2，在(0,1)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又∵f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0.∴f(x)在区间(0,1)上存在一个零点．【答案】　1(3)判断下列函数在给定区间是否存在零点．①f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；②f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．【解析】　①∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0.故f(x)＝x2－3x－18，x∈

8、[1,8]存在零点．②∵f(1)＝log23－1>log22－1＝0，f(3)＝log25－3

9、几个不同的零点．思考题1　(1)设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　)A．[0,1]B．[1,2]C．[－2，－1]D．[－1,0]【解析】　函数f(x)在区间[a，b]上有零点，需要f(x)在此区间上的图像连续且两端点函数值异号，即f(a)f(b)≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D.【答案】　D(2)(2013·绍兴市质量调测)“k>3”是“函数f(x)＝x－2，x∈[0，k]存在零点的”(