中学数学研究-陕081205为什么要引入弧度？

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1、资料编号14471三角函数弧度制王尚志发表在陕081205上属于教法、辅导、教材摘要题为《为什么要引入弧度？》首都师范大学王尚志胡凤娟付丽北大附中张思明西安一中袁芹芹在高中数学教学中是否需要引人“弧度”，曾经有过争议，例如，在高中课程标准研制的过程中，有人曾建议“能不能不引人弧度”,有人说“弧度”即“糊涂”，一些一线教师也存在着某些困惑.最近，本文作者之一袁芹芹又提出了这个问题，我们査阅了这方面的文献，感到有一些问题还值得进一步思考，现从五个方面给出我们的理解、看法和建议，供大家参考.1影响弧度认识的主要因素首先，我们讨论一下影响弧度认识的主要因素•

2、下面给出一个框图，初步描述影响弧度认识的有关概念和知识.图1下面我们对框图做一个简要的说明.(1)“量纲”是各个科学学科和技术领域的重要组成部分，同一个量会出现在不同学科和技术领域，每一个学科和技术领域都会选择方便“自己”的度量方法.在国际上，有专门的机构研究量的统一单位——量纲问题，希望建立统一的标准.一般地说，“量纲”的确定是比较复杂的问题，例如，关于角的量纲，目前在国际上还存在争议，这些争论不是“数学”要讨论的问题，因此，我们不在这里讨论，有兴趣的教师可以阅读某些专门的文献和书籍.(2)同一个量有不同的度量方式.例如，度量长度可以用米、英尺、码

3、等不间的单位制；度量质量可以用千克、磅等不同的单位制;等等.角度制和弧度制是角的两种不同度量方式，关于这两种不同度量方式的特点和差异，我们将在第二部分详细讨论.(3)相似关系会对认识弧度产生影响.p和弧长公式(初中)也是影响对弧度认识的因素.在同一个量的不同度量方式中，需要满足——对应、同增同减的基本关系，一般情况下，需要满足正比例关系域线性关系().例如，华氏温度和摄氏温度之间满足,这是个线性关系.弧长公式反映了角度和弧度之间的基本关系，在第二部分，我们要分析这些因素对弧度认识的影响.(4)弧度概念最基本的作用反映在对于“三角函数”的理解和认识，这

4、是理解“为什么要引人弧度”的关键，这将在第三部分进行讨论..(5)通过物理模型，能帮助我们进一步体会弧度引人的必要性，这将在第四部分进行讨论.以上的因素之间是相互联系，相互影响的，我们不能把它们隔离开来，只有将各个部分及各部分之间的关系认识清楚，才能更为深入地理解引人弧度制的必要性.2角的两种不同度量方式高中数学教师都清楚，角度制和弧度制都是测量角的基本方式，它们是对同一个量——角”的不同度量.2.1角度制在远古时期，由于太阳围绕地球转，使人们最早接受了圆的概念，规定一个圆为一个周角，为3600.再将周角进行360等分，把每一个等分角规定为角的一个单

5、图2位，称为1度，即规定周角的^为1度的角，记做°.这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制.这种度量方法的基本特点，是用特殊角来确定角的度量单位，直观地说，就是用“特殊角”量其他角.用“自己”度量“自己”，这种方法是我们比较熟悉的，例如，重量的度量，目前国际上用“1千克”为单位，它是一个圆柱体形状的标准砝码，直径和高度均为39毫米，这个砝码用铂（90%)铱（10%)合金制成.我们可以用这个度量单位去度量其他物体的重量.在角度单位的确定过程中，为什么要选择360这个数去等分圆周呢？我们和李文林先生讨论过这个问题，他认为“360的因子比较多”，这

6、是一个重要的理由.2.2弧度制学习了一个重要的事实，圆的周长与半径的比是常数p.在初中阶段，学生学习了一个重要的结果，在同一个圆中，圆心角的大小和它所对的弧长——对应，当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长是不相等的，并可以用来计算弧长,这个公式虽然只限于0°到360°这个范围，但实质上揭示了角度与弧度之间的关系，为建立弧度制奠定了基础.在以上的讨论中，涉及的角都是0°到360°之间的角，当我们把角的概念推广到一般情形以后，很容易建立起一般角的角度制表示和弧度制表示.在用弧度制确定角的单位的过程中，首先，给定一个长度单位，以这个长度单位为半径就可以得到

7、一个单位圆，在单位圆上，截取弧长为1的弧，它所对应的圆心角作为弧度制的单位，称为1弧度，记作1rad.这样我们就可以用单位圆上弧的长度去描述它所对应的圆心角，圆心角的大小和它所对的弧长一一对应.在这种度量方式中，我们采用“长度”去度量角，用“别人”来量“自己这种方式常常会感觉不习惯，但是在物理和其他学科中，这样的度量方法是很多的，例如：电压、血压、时间，等等.我们知道任意两个圆彼此是相似的，这可能是最先发现的彼此相似的图形，即圆周与直径的比是常数p.根据这个性质，从图3知道，在同心圆中，同样的圆心角所对应的弧长与半径之比是常数（由弧长公式可知），我们

8、称这个常数为该角的弧度数.依据这样的定义，圆周角的弧度数就是2p.2.3角度制和弧度制各自的特点和关系从上面