中学数学研究-陕140146新课引入中的“过”与“不及”

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1、资料编号14492函数解三角形奇偶性余弦定理江建国发表在陕140146上属于教法、环节、导入摘要题为《新课引入中的“过”与“不及”》江建国（浙江丽水学院附属髙级中学)马玉斌（浙江省温州市教研院)1问题提出尽管新学习很大程度上取决于以前习得的内容，但当学生面对新的学习任务时并不总是能回忆出并使用相关的信息。[1]为能有效学习新内容，有必要在新学习开始前激活相关信息，实现旧知与新知的有效链接，以期学生能较快地进人状态。由于数学知识的发生、发展有其内在逻辑上的连续性，在新旧知识逻辑链接点上常常出现两种现象：其一是忽视学生已有的认知基础，在新课引入中把认知台阶降得过低；其二是不顾学生的认知基

2、础，在新课引人中把认知台阶拔得过高。前者称之为“过”,后者称之为“不及”。虽然“过”不会造成认知上的障碍，却在重复往日的“故事”中冲淡了学生的学习兴趣，且不利于学生思维能力的提升，“不及”常常导致认知发生不自然，有强加的味道，造成前后知识对接不连贯，难以形成完整的逻辑体系，知识容易碎片化。2两个案例分析案例1余弦定理新课引入。[2](1)创设情境，提出问题。问题：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通，需要测量该山体底面A、B两点间的距离，请大家想办法解决这个问题。(2)构建模型，解决问题。•学生根据三角形全等判定，在直线AB外选一点C，量出AC、BC及∠ACB，再想办法计算的长

3、。评析：教学设计的基点是：学生知道什么、知识是如何组织的、认知怎样发生。关于三角形的知识，学生由三角形的图形认识到三角形全等判定等都是基于形的定性认识，勾股定理、解直角三角形、正弦定理等是基于数的定量认识，如何求解一般三角形是留存学生心中的“惑”，如何引出并激发学生探究“惑”的兴趣是教师首先要解决的问题。正弦定理解决了“两角及一角对边”的问题，余下的“两边及夹角和三边，，的问题，从认知的角度来说是顺理成章，情境设计淡化了知识的自然生长。从教材的组织来看，关于三角形的知识是螺旋式上升的，这些知识分布于小学、初中、高中等不同的学段，解三角形是中学阶段关于三角形知识的收官之作，既是收官课，

4、构建关于三角形的知识网络是必须的，而知识网络的构建不仅是一个学习阶段结束后的总结、提炼，也应该是建立在对已经学过知识审视基础上的展望。从认知角度来看，由直观到抽象、由粗糙到精确、由定性到定量，正弦定理解决了“两角夹边及两角一对边”的问题，余下“两边及夹角以及三边”的问题亟待解决，毫无疑问是接下来研究的核心问题，是逻辑的自然延伸。引入从具体情境出发，构建模型，再去求解模型完成余弦定理的探究学习，虽然贴近生活实际，却没有切中学生认知实际，在与学生认知对接上有点“过”，这种“过”虽然不妨碍后续的学习，却剥夺了学生构建认知网络、完善认知结构及从数学本身的发生、发展展望后续研究的机会，对数学问

5、题的思考不总是始于实际问题的需要，很多时候是基于对数学结构本身的思考。改进后的引入：回顾旧知，提出问题。教师：我们知道，已知三角形的两角及夹边、两角及一角对边、两边及夹角、三边就可以确定一个三角形，上节课我们解决了已知三角形的两角及夹边、两角及一角对边求其他边角的问题，同学们想一想，接下来我们要解决什么问题呢？学生：已知三角形的两边及夹角或三边求其他的边和角的问题。教师：回答得很好，做任何研究，我们不仅要清楚自己做了什么，还要学会判断接下来该做什么。评析：从学生认知基础出发，回顾已经解决的问题，从知识的系统性及完整性出发，思考并展望接下来解决的问题，有利于培养学生反思的习惯及问题意识

6、，形成合理的认知结构。案例2函数的奇偶性新课引人。[3]教师：观察图1中两个函数的图象，思考问题：(1)这两个函数图象有什么共同特征？(2)相应的两个函数值是如何体现这些特征的？学生：函数图象都关于y轴对称。教师引导学生验算f(—1)=f(1)，f(—2)=f(2)，f(—3)=f(3)，猜想结论:f(一x)=f(x)。观察图2中两个函数图象,重复上述问题（略）。(1)(2)图2评析:上课开始就给出两组分别关于y轴对称和关于原点对称的函数图象，让学生感到突兀，不自然。奇偶性是对称性的特殊化（特殊在对称轴和对称中心）及研究视角的转换（从形到数），学生思维的起点是轴对称、中心对称，在新课

7、引人中因为“不及”，才显得突然，让学生验算f(—1)=f(1)，f(一2)==f(2)，f(一3)=f(3)，再去猜想，剥夺了学生思考的空间。改进后的引入：教师：我们学习过的函数图象中，有哪些是轴对称图形？有哪些是中心对称图形？学生：（教师引导学生）关于轴对称的有：二次函数的图象、f(x）=

8、x

9、等函数的图象，关于中心对称的有：反比例函数的图象、f(x)=x的图象等。教师：直角坐标系中哪条轴可以作为函数图象的对称轴？哪个特殊点可以作为函数图象的对称中心？学