中学数学研究-陕140151“形式花原则”指导下数学解题的几种视角

《中学数学研究-陕140151“形式花原则”指导下数学解题的几种视角》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、资料编号144942013浙江毛良忠发表在陕140151上属于解题、策略、多解符号摘要题为《“形式花原则”指导下数学解题的几种视角》毛良忠（浙江省平湖中学）数学的符号化和形式化，是20世纪数学的重要特征。要学习数学，必须掌握适当的形式化的语言。学习数学的一个重要目标，就是学习一种有特定含义的形式化的语言，以及用形式化的语言去表示和解决各种问题。当然，形式化所呈现的是冰冷的美丽，在形式化的背后是丰富的内涵以及火热的思考。同一个数学问题可以用不同的形式表述，同一个形式表述又可以反映不同的数学模型、数学内容。课堂教学的目标之一就是要引导学生把数学问题用某种系统中的形式符号表示出来，并学会在

2、不同符号之间进行转换。张奠宙先生在其著作《数学方法论稿》一书中提到：“数学形式化原则”指的是，同一个数学问题，可以有不同的形式表述；同一个形式表述，又可以反映不同的数学模型、数学内容。因此在数学解题中我们总是要将自然语言表述的实际应用问题逐步地加以形式化，即分层次地把问题中的未完成形式化的概念、关系不断地形式化。把握形式化原则是中学数学首要的一步，这是因为应用问题、综合性问题解答的第一步，就是要恰当的形式化。对于数学的学习，李邦河院士指出“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”在数学教材中有许多数学概念在形式上非常漂亮，如奇函数的定义f(—x)=f(x)，简洁的符号形式下

3、有着丰富的内涵：（1)从自变量x的取值来看，有x必有一x(体现了定义域是关于原点对称的）；（2)从函数图象上看，有（x。，f(x。)）必有（一x。，一f(x。))(体现了函数图象上的点是关于原点对称的）；（3)表达式中字母x的任意性体现了奇函数图象上的点所拥有的代数特性（体现了整体思想）.用符号表示概念能清楚地反映定义的结构。又如对于同样一个“点’，的概念在不同的系统学习中又有各种形式化的表示：如几何图形中的点P,直角坐标系中点P(x，y),极坐标中的点(r，q)，向量形式下的点（x,y)，某些曲线上点的参数形式（rcosq，rsinq)、（acosq,bsinq)、（2pt2，2p

4、t）。不同的形式表示对问题的解决影响是很大的，选用哪种形式表示相关的量，关键是看它处在怎样的一个背景下，需要怎样的身份介入才有利于问题的解决，这就需要解题者善于观察分析，具有灵活变通的思想。数学的表示形式可能是严谨冰冷的，缺乏自然语言特有的美丽(更缺乏华丽辞藻的修饰），但纯粹符号化的背后却蕴藏着火热的数学思考。本文试在数学的形式化原则指导下透视数学问题的解决途径。1不同的符号形式化使问题解决呈现多样性上面不同的解法来源于对问题形式的不同表征，对结构的不同识别会产生不同的策略，解题者应对解题策略做优劣分析，从而博观约取。多角度的形式变换让问题本质更凸显，思维更深刻。3形式联系让问题解决

5、更有实效高三复习时，有这样一道题：例3如图5,已知f(x)=3x2-x+m，。(I)若函数f(x)与g(x)的图象在x=x0,处的切线平行，求:x0的值；(II)当曲线y=f(x)与y=g(x)有公切线时，求实数m的取值范围。此题的题干叙述简洁明了，对于第（I)问学生都能较快地解得心=

6、■，但在解决第（n)问时由于题目呈现的条件信息太少导致绝大多数学生思维受阻。有个别思维清晰，基本功扎实的学生得出下面的解法：解法1:根据题意作出曲线与的公切线AB或CD。时存在两条公切线如图7。在学生顺利完成上面的求解后，笔者充分肯定了学生扎实的基本功及在问题求解过程中体现的转化变通思想，随后引导：波

7、利亚倡导我们在解题过程中要学会反思，每一个问题的解决不可能是尽善尽美的，有没有更好的方法呢？重新回到原题——我们是否真正充分利用了已知条件呢？对于这样的一种提示，有些学生迷茫，题干如此的简洁实在看不出还有什么条件被遗漏。进一步提问，此题的两个问题是不是有点突兀？第（I)问如此的简单，让人兴奋到顶，但第(II)问的求解却似一下掉入深渊不能自拔。两个问题之间有没有联系呢？不要忘了已解决的结论也是可以值得借用的条件。通过一番提示学生又得出了如下的漂亮解法：（注意：2、3页的顺序颠倒了）实数解，则々的取值范围是。2.1方程角度从问题陈述看，它应该是一个方程解的情况探求问题。含绝对值方程的一种

8、处理方法就是直接讨论求解。将问题分情况讨论：解法2的简洁求解得益于对已解决的第（I)问的充分利用，通过观察图8中图象的变化，重点考察临界状态——两个图象相切的位置，进而使问题巧妙解决。在问题解决的过程中，我们要注重结论与条件的联系和沟通，充分依据问题提供的信息，确定解题过程中的思维起点和思维的导向，立足问题结构呈现的特征，利用动态的思维去实现问题的有效转化，关注问题之间的形式联系能让问题的解决更有实效。4为形式结构探寻合适模型，使形式表示更自然模型既能揭露