中学数学研究-陕070918数学证明及其教育价值

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1、资料编号14355数学证明姜钰发表在陕070918上属于教法、辅导、学科题为《数学证明及其教育价值》新课程标准关于几何课程的改革使一部分人对数学证明产生了误解.另一方面，人们对“什么是证明”的认知存在很大差异.学生在数学证明的学习过程中也存在着种种困难和问题.本文拟对数学证明的定义、数学证明的历史沿革以及证明的教育功能进行简要地阐释.1数学证明的定义“证”指用人物、事实来表明或断定.“明”指清楚、明白.证明在《辞海》中的解释为根据确实的材料判明真实性.”证明广泛存在于人类生活的各个领域.历史学家用“二重证据法”，即地下实物资料和历史文献资料相互印

2、证的方式，对历史事实加以判断；法官要利用人证、物证进行判案；自然科学家通过观察、试验等方式论证科学假说的真伪.数学证明指以一些真实性已确定了的命题为前提来确定某一命题的真实性的思维过程.具体地说，数学证明是以一些基本概念、基本公理为基础，从题设（已知条件）出发，按照一定的逻辑规则和方法，经过一步步的演绎推理，最后得出结论的过程.由于任何已被判定的命题的真实性都是相对的，而不是绝对的，因而数学证明也不是绝对的而是相对的.事实上,数学证明并无公认一致的严格定义.随着数学学科的发展，数学证明方式、方法和手段的丰富，数学证明的内涵也在不断发生变化.不同的

3、人对数学证明的理解也大不相同，即便是数学家之间，对数学证明的看法也常常是大相径庭.德国数学家克莱因（Klein)十分强调数学证明在数学中的作用.他认为数学基本上是一种自我证明的科学，将数学与证明几乎画上等号.雷德（Reid)和托马斯(Thomas)则更进一步，他们认为对于其他科学，如果也能像数学那样严格地进行推理和证明，则必将最终发现许多看上去可能的事是不可能的.英国数学家哈代(Hardy)则认为:“严格说起来根本没有所谓数学证明……归根到底我们只是指出一些要点……李特伍德和我都把证明称之为废话，它是为打动某些人而编造的一堆华丽辞藻，是讲演时来演

4、示的图片，是激发小学生想象力的工具.”[1]无论是克莱因对数学证明的推崇备至，还是哈代将数学证明贬低为只是“指指点点”,这种对数学证明理解上的差异与数学家本人的经历以及数学证明的历史沿革密切相关.2数学证明的历史沿革西方公认的数学证明始于公元前6世纪的古希腊，爱奥尼亚(Ionia)学派的泰勒斯（Thales)证明了几条诸如直径分圆、对顶角相等之类的定理，开创了数学证明的先河.到了公元4世纪，欧几里得的划时代著作《几何原本》问世，它从一些基本的定义和公理出发，演绎推理出了400多条定理，奠定了数学证明的基本模式.当时的数学家不仅发展了直接证明的演绎

5、推论手法，而且可以熟练地使用反证法，并渐渐形成分析与综合的思维方式.到了17世纪，法国数学家笛卡儿(Descartes)详细阐述了分析与综合、逻辑推导与直观思维在数学证明中的相互作用.直到20世纪前半叶证明”这个概念还意味着那些极为精致的分析方法，特别是还有所谓的“构造性”证明的概念.但是计算机的出现从根本上改变了证明概念本身.计算机证明的第一次成功运用，是在1976年对四色定理的证明，从此也揭开了人们对计算机证明争论的历史.关于机器证明的论争持续至今，仍无定论.数学证明的历史沿革表明：不存在独立于时代的证明标准，数学证明必然随着时代和数学学科本

6、身的变化而变化.当然，其他文化中也不是没有产生过证明的思想.例如，中国古代典籍《韩非子》中有一则关于“棘刺母猴”的记载，其中燕王的铁匠关于“诸微物必以削削之，而所削必大于削.今棘剌之端不如削锋，难以治棘剌之端”的分析就体现了反证法的思想.而郭书春先生关于“刘徽注《九章算术》主要是演绎论证即真正的数学证明”的论断进一步说明，数学证明不仅在中国古代数学中存在，而且绽放异彩.当然中国古代数学中的证明与西方数学证明由于话语体系的不同，在表达形式上存在很大的差异.但是，它们的许多内在思想却是异曲同工、不谋而合的.总之，数学证明内涵的演化不仅具有文化性，而且

7、具有时代性.正如怀尔德（Wilder)在《数学概念的演化》中所言：“我们不要忘记，所谓证明，不只是在不同的文化有不同的含义，就连在不同的时代也有不同的含义很明显，我们不会拥有而且极可能永远不会有一个这样的证明标准独立于时代，独立于所要证明的东西，并且独立于使用它的个人或某个思想学派._3数学证明的教育价值数学证明的教育价值主要体现为增进对知识的理解和掌握;建立新旧知识以及数学知识与其他相关学科知识之间的联系；培养和训练逻辑思维和非逻辑思维能力；培养数学交流和数学发现的能力.[3]3.1数学证明的教学可以增进学生对数学知识的理解和掌握事实上，数学家

8、也更热衷于那些增进理解而不仅仅是核实命题的数学证明.布尔巴基（Bourbaki)学派在《数学的建筑》一书中就指出：“单是验证了一个数学证