中学数学研究-陕070520解读反证法的逻辑基础

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1、资料编号13729房元霞发表在陕070520上属于思维、思想、反证题为《解读反证法的逻辑基础》我们知道，一个数学命题，可能是正确的，也可能是错误的.因此，要想肯定一个命题的正确与否就需要加以证明，但是有些数学命题给出直接证明是很困难的，而用反证法证明要简捷容易得多.有些命题，至今除了反证法以外还不能给出其他的证明，甚至有这样的命题，它可以用反证法证明，但由于这个命题本身的特点，即使在原则上也不可能给出直接的构造性证明.什么是反证法呢？反证法就是证明某个命题时，先假定它的结论的否定成立，然后从这个假定出发，概括命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实(条件、公理、定理、定义、法则、公式

2、等）相矛盾的结果.这样就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立.反证法在数学证明中有广泛的应用，在数学教材中很容易找到例子，我们也能机械地套用反证法的证明步骤，至于反证法的逻辑原理如何，却不一定能说出子丑寅卯来.根据数理逻辑的知识，我们把反证法的逻辑原理证明如下：题中的部分条件一起，推出与前提中另一部分条件相矛盾的命题.反证法的这五种形式都可以用一句话“否定结论，推出矛盾”来概括.那种认为反证法是“证逆否命题”的观点是不全面的，因为通过证明逆否命题来证明原命题的方法仅是反证法的一种形式（形式（1)).反证法的关键在于推出矛盾，其实在一开始做假设时就已经蕴涵有矛盾了，只是不那么

3、明显，而整个推理过程就是把不明显的矛盾推至明显的矛盾的过程.在我们的教学实践中，反证法常用来证明某学科中起始性的命题、结论是否定形式的命题、存在性问题、唯一性的问题、与无限有关的问题、任意性问题、已知条件较少或条件与结论之间没有直接关系的命题等.反证法也称归谬法（其另一类型穷举法的原理亦如此，不再赘述），它的证明简洁、优美，又极为深刻，曾为推动数学的发展做出过巨大的贡献，如欧几里得(Euclid)关于素数是无限的证明、费马（Fermat)关于及是无理数的证明等，被人们视为数学定理证明的典范.因此，反证法在数学思想方法中占有一席之地.哈代（G.H.Hardy)对这种证明方法做过一个很好的评论，在

4、棋类比赛中，经常采用一种策略是“弃子取势(牺牲一些棋子以换取优势他说，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略，棋手牺牲的是几个棋子，而数学家可以牺牲的却是整个一盘棋，归谬法就作为一种可以想象的最了不起的一种策略而产生的，当然，这种想象是以逻辑为基础的，是有理有据的.参考文献1钱佩玲.数学思想方法[M].北京：北京师范大学出版社，20012耿素云，屈婉玲.离散数学[M].北京：髙等教育出版社，19983张楚廷.数学文化[M].北京：髙等教育出版社，2002