《2.2.2 间接证明》导学案

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1、第7课时　间接证明　教学过程一、问题情境问题1　如何证明命题“在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与A1C是异面直线”?(图1)证明　假设AB与A1C共面.由于经过点C和直线AB的平面只能有1个(即底面ABCD),所以直线A1C和AB都应在底面ABCD内,于是A1在底面ABCD内,这与点A1在底面ABCD外矛盾.因此,直线AB与A1C是异面直线.二、数学建构1.反证法一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证

2、法.2.反证法的3个步骤:(1)反设——假设命题的结论不正确,即假定原结论的反面为真;(2)归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;(3)存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.3.间接证明——不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立(如反证法),这种不是直接证明的方法称为间接证明,反证法是间接证明的一种常用方法.概念理解1.反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的.例如:是↔不是;存在↔不存在;平行于↔不平行于;垂直于↔不垂直于;等于↔不

3、等于;大(小)于↔不大(小)于;都是↔不都是;至少有1个↔1个也没有;至少有n个↔至多有(n-1)个;至多有1个↔至少有2个;唯一↔至少有2个.2.归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木,推理必须严谨.3.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.三、数学运用【例1】　(教材第86页例2)求证:错误！未找到引用源。不是有理数.[2](见学生用书P45)[处理建议]　直接证明一个数是无理数比较困难,我们采用

4、反证法.假设错误！未找到引用源。不是无理数,那么它就是有理数.错误！未找到引用源。是有理数,我们能得到什么结论?我们知道,任一有理数都可以写成形如错误！未找到引用源。(m,n互质,m∈Z,n∈N*)的形式.上述分析若学生不会,可以由老师讲解,再让学生模仿,以了解和掌握无理数的证明.[规范板书]　证明　假设错误！未找到引用源。是有理数,于是,存在互质的正整数m,n,使得错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,从而有m=错误！未找到引用源。n,因此,m2=2n2,所以m为偶数.于是可设m=2k(k是正整数),从而有4k2=

5、2n2,即n2=2k2,所以n也为偶数,所以m,n有公约数2.这与m,n互质矛盾,由上述矛盾可知假设错误,从而错误！未找到引用源。是无理数.[解题反思]　(1)反证法的巧妙之处在于说不清楚的问题,反过来说明,让人看得明明白白.(2)正是错误！未找到引用源。的发现,使人们认识到在有理数之外,还有一类数与1是不可公度的,这就是无理数,从而引发了数学史上的第一次危机,大大推动了数学前进的步伐.【例2】　(教材第85页例1)求证:正弦函数没有比2π小的正周期.[3](见学生用书P45)[[处理建议]　对于一些平时不多见的命题证明,

6、要启发学生从数学定义入手,这是一个最简单、最重要的方法,而它往往会被忽视.[规范板书]　证明　假设T是正弦函数的周期,且0

7、那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为0的常数T叫做这个函数的周期.应用其定义时,要注意自变量x的任意性,上题证明过程中,定义域为一切实数,而x=错误！未找到引用源。时等式不成立,所以假设不成立.【例3】　设a,b,c∈(0,2),求证:(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不可能同时大于1.[4](见学生用书P46)[处理建议]　先让学生进行证明,熟悉反证法的方法,注意书写格式,再讨论交流.[规范板书]　证明　假设(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b都大于1,即(2-a)c>1,(2-b)a>1,(2-c)b>

8、1,则(2-a)c(2-b)a(2-c)b>1,①又因为a,b,c∈(0,2),所以(2-a)a≤错误！未找到引用源。=1,同理(2-b)b≤1,(2-c)c≤1,所以(2-a)c(2-b)a(2-c)b=(2-a)a(2-b)b(2-c)c≤1,所以(2-a)c(2-b)a(2-c)b≤1,与①矛盾,