《类比》同步练习3

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1、《类比》同步练习31、如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为A

2、E、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．2、如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关系．（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明）

3、3、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动，两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．（1）梯形ABCD的面积等于____________；（2）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于________________秒；（3）当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？参考答案（1）∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE，∴△DEC≌△AFD；∴结论①、②成立（2）结论①、

4、②仍然成立．理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，在Rt△ADF和Rt△ECD中∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），∴AF=DE，∴∠DAF=∠CDE，∵∠ADE+∠CDE=90°，∴∠ADE+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，∴AF⊥DE；（3）结论：四边形MNPQ是正方形证明：∵AM=ME，AQ=QD，∴MQ∥DE且MQ=DE，同理可证：PN∥DE，PN=DE；MN∥AF，MN=AF；PQ∥AF，PQ=AF；∵AF=DE，∴MN=NP=PQ=QM，∴四边形MNPQ是菱形，又∵AF⊥DE，∴∠

5、MQP=90°，∴四边形MNPQ是正方形．2、解：（1）∵DF⊥AC，BG⊥AC，∴DF∥BG，∵D是BC的中点，∴DF=BG=．连接AD，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=．∴DE+DF=．∴DE+DF=BG．延长FD，使FM=BG，∵DF⊥AC，BG⊥AC，∴四边形BMFG是矩形，∴BG=MF，∵∠EDB+∠ABD=90°，∠FDC+∠C=90°，∠ABC=∠C，∴∠EDB=∠FDC，∵∠FDC=∠BDM，∴∠EDB=∠BDM．∵∠BED=∠BMD，BD=BD，∴△EBD≌△MBD，∴ED=MD．∴BG=DE+DF．（3）BG=DE-DF

6、．3、解：（1）如下图所示：作DE⊥BC于E，∵四边形ABCD是梯形，AB=DC=5，∴CE=（BC-AD）=3，在Rt△DEC中，由勾股定理可得：DE==4，所以，梯形ABCD的面积=×（AD+BC）×DE=36．（2）如下图所示：作DF∥AB交BC与F，连接PQ，设t秒后PQ∥AB，∵AB∥DF，AB∥PQ∴PQ∥DF，AD=BF=6，∴△CPQ∽△CDF，∴t=15/8秒．（3）当P、Q、C三点构成直角三角形时，有两种情况：①当PQ⊥BC时，设P点离开D点t秒，PC=DC-DP=5-t，CQ=2t，作DE⊥BC如下图所示：∴PQ∥DE，∴∠

7、CPQ=∠CDE，∠CQP=∠CED，∴△CPQ∽△CDE，∴∴此时，t=15/13秒．②当QP⊥DC时，设P点离开D点t秒．如下图所示：∵∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C∴△QPC∽△DEC∴∴此时，t=25/11秒，所以，当P、Q、C三点构成直角三角形时，点P离开点D