嘉兴说题-嘉高实验金国成

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1、已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点.若,求k的值.题目：一、说题目学生读题后认识大致有下列四个层次：1.看到了两个方程（直线方程和抛物线方程）和一个等量关系：2.在显性条件的基础上了解直线与抛物线的图，但对隐性条件直线过定点，抛物线焦点及等没有完整的认识。3.能完成图一，标出4.完成图二oxyFP图一BAoxyFP图二BAMN二、说解法针对上述认识的解题策略大约有下列几点看法：1.只认识到第一层次的，只能是解方程组求A、B坐标，用距离公式求解。2.认识到第二层次，尽管有了数形结合的思想但无法化解第一层次的解题方法。3.认识到第三层次，可以有一些设而不求的做法，但认识

2、不够完善，无法完整讨论。4.只有认识到第四认识。才能实现数形结合的有效转化。但万变不离其宗：基础一点得：，更进一步的得。其它代数式的顺序变化情况有很多，因此有的人提供了多种解法其实并不本质。解法一：设联立方程组(直接运用）又又由得或（舍去）代入或（舍去）。点评：这个方法是纯代数的方法，学生容易想到，但涉及到两点间的距离公式，运算比较繁琐。解法二：（方向一）在解法一的韦达定理的基础上利用焦半径：由抛物线定义可知：，以下同解法一。解法二：（方向二）由于两点在抛物线上，可设将代入化简得于是由抛物线定义将条件转化为即，，从而解得。解得解法二：（方向三）设抛物线的准线为，直线恒过定点P。如

3、图过分别作于,于,由,则,得点B为线段的中点。设由中点坐标公式得由于点A在抛物线上得解得，故得。由两点的斜率公式求出oxyFP图二BAMN点评：定义是问题的发源地，利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使得题设中的几何条件的形与数性质得以显现：B为线段PA的中点或。从而达到避免了使用两点间距离公式的复杂运算目的。解法三、设抛物线的准线为，直线恒过定点。P分别作于,于,由,则如图过,点B为AP的中点.连结,则,,点的横坐标为,故点的坐标为点评：解析几何的问题首先是几何问题。本题是这种思想的深刻体现和典型范例，通过巧妙利用几何关系，以及抛物线相关基础知识，而使

4、得问题得到解决。这归功于熟练的几何意识与平时训练有素的练习。三、说背景1、本质：我认为这题的本质是：经过焦点的两条焦点弦倾斜角互补则端点弦所在直线恒过准线与对称轴的交点。（能够证明）2、拓展（阿基米德三角型）过任意抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交与A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线L1,L2相交于P点。那么△PAB称作阿基米德三角型。该三角形满足以下特性：1、P点必在抛物线的准线上；2、△PAB为直角三角形，且角P为直角；3、PF⊥AB（即符合射影定理）；……3、拓展到任意圆锥曲线（椭圆，双曲线、抛物线）均有如下特性：1、过某一焦点F做弦与曲线交于A、B两点分别过A、

5、B两点做圆锥曲线的切线L1,L2相交于P点,那么，P必在该焦点所对应的准线上。2、过某准线与X轴的焦点Q做弦与曲线交于A、B两点分别过A、B两点做圆锥曲线的切线L1,L2相交于P点。那么，P必在一条垂直于X轴的直线上，且该直线过对应的焦点。……四、说作用（一）从“本题考查”的角度看本题考查的解析几何中的性质问题，相关知识涉及面广，综合性强，对学生能力要求非常高，容易让学生“进不去、解不出”之感。要解决这一困难，我们在教学中要重视对学生三方面能力的培养：（1）重视基础知识。首先熟练掌握圆锥曲线的基础知识和几何特征；其次应掌握一些常见题型，如圆锥曲线的几何性质、定值等问题。若能熟练掌

6、握基础知识、基本技能，则对解题思路会有很大帮助。（2）注重通性通法。培养学生养成良好的学习习惯，经常对所学的知识和题型进行总结归纳，寻找规律和突破口。如此类直线与圆锥曲线位置关系问题，掌握常规的直线与曲线联立，设线与设点以及韦达定理的应用。（3）关注能力提升。本题结合抛物线的定义，巧妙利用三角形的中位线定理，从而降低了运算量；通过一题多解、一题多变，拓展学生思维，培养学生分析、解决问题的能力。通过规范化训练，培养学生的运算能力和严谨的治学态度。（二）从“问题解决”的角度看本题也可以作为直线与圆锥曲线位置关系综合问题的例题在课堂上讲解，让学生体会多种解法。在解题过程中让学生体会数形

7、结合思想、方程思想、转化与化归思想。在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么！——毕达哥拉斯谢谢各位领导和老师，恳请多提宝贵的意见！