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《具有很多素数方幂阶子群的有限群》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第23卷第1期四川理工学院学报(自然科学版)Vol23No12010年2月JournalofSichuanUniversityofScience&Engineering(NaturalScienceEdition)Feb2010文章编号:16731549(2010)01002503具有很多素数方幂阶子群的有限群张科锋(南海东软信息技术学院基础部,广东佛山528225)摘要:文章以p群和内群研究成果为基础,以它们的研究方法为依托,采用反证法、分析法,得到若干成果,丰富了研究内群这一领域的成果。文章首先以可解次单群的结构和性质,引出所讨论
2、的任一真子群为素数方幂阶的有限群的结构和性质,给出一个有限群满足这一性质的充分必要条件,得到了若干结论,并且指出了任一真子群为素数方幂阶的有限群和有限次单群、CP群之间的包含关系。最后,进一步拓宽这一性质,引出外p群的定义,给出了一个外p群的必要条件。关键词:次单群;p群;内p群;IP群中图分类号:O152.1文献标识码:A只有唯一一个非平凡正规子群的群叫做次单群。的;文献[1]通过对次单群幂零性的讨论,给出了关于可解(2)只要G的所有-Hall子群或所有-Hall次单群结构的一些结论。在次单群的分类中,有一类次子群是可解的,则G的所有-H
3、all子群共轭,并且G单群特别重要,这类次单群的任一真子群都是素数方幂的所有-Hall子群也共轭。[4]阶群。从这点出发,本文在此基础上,对满足任一真子引理3设G为有限群。则下述两条均为G可解群为素数方幂阶的有限群进行了更深入的讨论。最后之充要条件:引进外p群的概念,并对其结构进行了研究,得到了一(1)G的合成因子皆为素数阶循环群;些结论,丰富了研究内群这一领域的成果。(2)G的主因子皆为素数幂阶的初等交换群。[2]引理412阶群有以下五种互不同构的类型:1基本引理与定理()交换群:本文中涉及的群都是有限群,使用符号和术语都是(1)GZ3Z4标准的
4、。(2)GZ6Z2[2]()非交换群:引理1设G是有限群,则下述事项等价:(3)GA4(1)G可解;62-1-1(4)G=[u,v],u=1,v=1,vuv=u(2)对每个素数集合,G都是可分群(或可623-1-1(5)G=[u,v],u=1,v=u,vuv=u解群);定义1任一真子群为p群的有限群称为IP群。(3)对每个素数p,G都是p可解群;定义2任一真子群为p群,但自身不是p群有限G(4)对任意的1NG,存在素数p使Op(N)1;群,称为内p群。GK明显内p群属于IP群。(5)对任意的1NG,存在的特征子群NNp
5、群和pq阶群(p,q是不同的素数)都是IP群,交K代群A4是IP群,且pq阶群(p,q是不同的素数)和交1,使是初等交换p群。N代群A4也是内p群。[3][1]2引理2设G是可分群,则:定理1G交换有限次单群,则G是阶为p的循(1)G的-Hall子群和-Hall子群总是存在环群。收稿日期:20090925作者简介:张科锋(1981),男,山东邹城人,硕士生,主要从事有限群构造方面的研究。26四川理工学院学报(自然科学版)2010年2月[1]mmn定理2G是非交换的可解有限次单群,则G是素因子最多两个,即G=p或G
6、=pq。G的唯一的非平凡正规子群,并且G是初等交换p群,定理7G是IP群,则G的类别有:nn此时G=pq,G=p,(pq,p,q为素数)。(1)G是p群;(2)G=pq,(p,q是不同的素数);2可解次单群与IP群的关系n(3)G=pq,(n>1,p,q为不同的素数)且G是由定理2知道,此时G的Sylowp子群是一个初等次单群,G的Sylowp子群是G的唯一非平凡正规子群交换p群且正规,而G的Sylowq子群是一个素数阶群并且是初等交换p群。且不正规,于是G的非平凡的子群中含有初等交换p证明假如G不是p群,由于G可解,则G存在极i群和素
7、数阶q群,那么G是否含有pq(i1时,设Q是G的Sylowq子子群都是素幂阶群。具体来说设
8、G
9、=pq,则G的真群,则QG,因为假如QG,而利用p群性质,M子群只能为初等交换p群或素数阶q群。n-1[8]一定存在p阶子群N,于是QN10、极大子群,
