固体物理-近自由电子近似和能带电子的经典近似

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1、紧束缚近似紧束缚近似基本原理：电子在某一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，其它原子场的作用可以看做一个微扰作用。可以得到电子的原子能级与晶体中能带之间的相互联系。紧束缚近似基本应用:解释半导体和绝缘体中所有电子的能带，金属中内层电子的能带。主要内容布洛赫理论紧束缚近似近自由电子近似能带电子的经典近似能带结构近自由电子近似近自由电子近似基本原理：电子在势场中运动，可将势场的平均值U0代替晶格势U(r)作为零级近似，将周期势的起伏U(r)U0作为微扰处理。近自由电子近似基本应用:解释金属价电子能带。量子力学内容补充----非简并定态微扰论若某一体系的哈密顿量H可分

2、解为H和H’之和，且H’远小于H：00HˆHˆHˆ'Hˆ'Hˆ00H的本征方程：Hˆ(0)E(0)(0)零级近似00kkkH’对能量本征值的一、二级修正和对波函数的一级修正：2''k'H'kkHk(1)(2)(1)(0)EkH'kEkk(0)(0)k'kE(0)E(0)k'EE'k'kk'kk体系的能量本征值准确到二级近似，波函数准确到一级近似：EE(0)E(1)E(2)(0)(1)kkkkkkk近自由电子近似一维模型能带的表示三维情形近自由电子势场（一维）-1由N个原子组成的一维晶格，基矢为a。晶格周期势U(x)作傅里叶级数展开：

3、mxi2U(x)Uuea0mm0U0：等于势场的平均值，即U0U(x)Lmx1i2uU(x)eadxum：展开系数，即mL0近自由电子势场（一维）-222ˆd单电子哈密顿算符：HU(x)22mdxe22Hˆ(0)dU令：202mdxemxi2(1)aHˆU(x)U0umem0则：HˆHˆ(0)Hˆ(1)当周期势场起伏很小时（近自由电子近似的适用条件），H(1)代表周期势场的起伏，比起H(0)来很小，可作为微扰项。零级近似薛定谔方程：零级近似能量本征值和波函数：22(0)kHˆ(0)(0)E(0)(0)EkU0kk2me

4、221d(0)(0)(0)(0)(0)eikx2kU0kEkkkLNa2mdxLe零级近似下解为自由电子周期性边界条件：k2l(l为整数）aN波函数满足正交归一化：Ｌ(0)*(0)０k'kdxk'k非简并微扰（波函数）-1按非简并微扰理论，波函数计算到一级修正：k'Hˆ(1)k(0)(1)1ikx(0)kkke(0)(0)k'Lk'EE'kk'(1)'''其中：kHˆkkU(x)UkkU(x)kUkk00'L1ik'x1ikxkU(x)keU(x)edx0LL1Li(kk')xeU(x)dxL02可证仅当k

5、'km(m为整数）时上式不为零，此时：aLmx1i2k'Hˆ(1)kU(x)eadxumL0非简并微扰（波函数）-22π证明：当k'km(m为整数）a21Li(kk')x1LimxeU(x)dxeaU(x)dxu00mLL2π当k'km，将整个一维晶格划分为N个原胞。aN11Li(kk')x1(n1)ai(k'k)xeU(x)dxeU(x)dxL0Lnan0令xnaU(x)U()N1N11ai(k'k)i(k'k)na1ai(k'k)i(k'k)naeeU()deU()d

6、eNa0Na0n0n02(l'l)iNN12(l'l)n1a1eN1aii(k'k)ei(k'k)U()deNeU()d0Na0i2(l'l)Na0Nn01e非简并微扰（波函数）-3'(1)22kHˆku(k'km)&0(k'km)maak'Hˆ(1)k(0)(1)1ikx(0)kkke(0)(0)k'Lk'EE'kk21'u1i(km)xikxmae2eLm222Lk(km)2mae21'uimxikxmae12eLm

7、k2(km2)22mae括号内x改变a的任意整数倍不变，满足布洛赫函数形式非简并微扰（能量本征值）-1按非简并微扰理论，能量本征值计算到二级修正：EE(0)E(1)E(2)kkkk22(0)k能量零级近似即自由电子能量本征值：EUk02me能量一级近似：E(1)kHˆ(1)kHˆ(1)U(x)Uk0(1)Ek[U(x)U]kkU(x)kkUkk00kU(x)kUkk0*2000U(x)