孙会元固体物理基础第三章能带论课件32近自由电子近似

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1、第二节近自由电子近似本节主要内容：一、一维情形二、三维情形周期势的选取是影响单电子薛定谔方程解的主要因素，考虑到自由电子费米气体模型的巨大成就，人们把晶体电子看成是在一个弱的周期性起伏的势场中运动，称为近自由电子近似，也称为弱周期场近似。它的基本思想是假定周期势场的空间变化十分微弱，用势能的平均值V0作为周期势V(r)的零级近似，把V(r)的周期性起伏部分⊿V=V(r)-V0作为微扰来处理，这就是近自由电子近似的方法。这样第一章得到的自由电子气体的结果就是零级近似解，而微扰近似解就是近自由电子近似的结果，可采用量子力学中标准的微扰论方法来处理。

2、下面我们首先考虑最简单的一维情形，然后推广到三维。1.一维非简并微扰一、一维情形设一维晶体的长度为L=Na,N为原胞数目，a为原胞的长度,一维周期势为V(x)将一维周期势V(x)作傅里叶展开：对于上述一维晶格来说，其倒格矢为所以,周期势场可写成“'”表示求和不包括n=0项可以取V0=0。其中,傅里叶展开系数：⊿V是周期性起伏的微扰势。由于势能是实数,可得关系式：按照微扰理论,周期场中单电子的能量本征值和波函数可以写成：取V0=0后，薛定谔方程可写成式中：是对应周期势为零时的波函数和能量本征值，称为零级近似解；上角标(1)，(2)，…等是微扰修正

3、的级数。所以有：且满足零级近似解是对应周期势为零时的波函数和能量本征值.显然,对应的就是第一章自由电子费米气体的本征函数和能量本征值,只是这里是一维情形.计入微扰后波函数的一级修正为:计入微扰后能量本征值的一级和二级修正为：波函数的一级修正为:式中求和号上的一撇表示不包含k=k/一项。利用零级近似波函数可得：由于能量的一级修正为零，所以必须取到二级修正由傅氏展开系数不为零的条件，可知上式对应的恰好和周期微扰势的傅氏展开系数一致也就是说，只有时，才不为零。从而，计入微扰后的能量二级修正和波函数的一级修正为从而，能量的二级近似解和波函数的一级近似解

4、分别为:令分析：对,当x改变a的任意整数倍时,其值不变，因而,这表明考虑了弱周期场近似后,计算到一级修正,波函数已从平面波过渡到了布洛赫波。则有上式右端第一部分为平面波，第二部分为电子在行进过程中遭受到起伏势场的散射作用所产生的散射波，各散射波的振幅为：由于周期势是微扰，所以Vn很小，导致各散射波的振幅很小。从而一级近似的布洛赫波函数和自由电子的平面波相差无几。然而,当已足够大,这时散射波不能再忽略.时,振幅也就是当波矢位于布里渊区边界（或布拉格平面）时，此时它的振幅已足够大，散射波不能再忽略。此外，由非简并微扰的能量表达式可知，能量的一级修正

5、为零；二级修正中的分子是微扰势的傅里叶展开系数的平方，也非常小；所以，在一般情况下近自由电子近似下的能量和自由电子的能量相差不多，可近似由自由电子的能量描述。(1).一般情况下,亦即:,此时,由于很小(弱周期势),导致很小,所以,与相差不大。可认为：亦即时，(2).当时，趋于无穷大,此时,简单的微扰展开不再适用，需用简并微扰的方法来处理。按照布里渊区的取法，它们恰好位于布里渊区的边界处，或布拉格平面上。下面我们采用简并微扰处理布里渊区的边界处的问题，此时，将导致出现能隙(禁带),并可由布拉格反射加以解释。此时，两个状态的波矢分别为:2.一维简并

6、微扰按照微扰理论,在原来的零级近似波函数k态中,要掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数k/态.两态之间的能量相差愈小,掺入的部分愈大.当位于布里渊区边界的地方k=-nπ/a，k/=nπ/a，两态之间零级近似的能量相等。对于k=-nπ/a的状态，最主要的影响是掺入了和它能量相等的的k/=nπ/a状态，其它的掺入状态都可以忽略。此时波函数可写成这两个简并态的线性组合得到将上式分别左乘将波函数代入薛定谔方程利用利用:这是一个齐次线性方程组,要使A,B有非零解,必须满足：得:则：利用由此求得令自由电子在布里渊区边界的动能为其中：则有：因而弱周期势使得电

7、子在布里渊区边界出现两个能级由于代表自由电子在状态的动能。所以,弱周期势使得原本在布里渊区边界准连续的电子能量分开了.出现了两个能级,两个能级之间出现了能隙，即原来准连续的抛物线变成了分段准连续，形成了能带。是关于k的抛物线形式.(1)、(2)两式表明具有抛物线形式的自由电子的能级在(n0,n为整数)处断开,此处为布里渊区边界,亦为布拉格平面。弱周期势使得电子在布里渊区边界出现两个能级如图所示,在弱周期势场作用下，电子的能级形成了能带，显然(1)式相当于能隙之上的能带底部，而(2)式则相当于能隙之下的能带顶部。(对于同一k值)在能带底部附近，

8、能量随波矢k的变化关系是偏离抛物线向上弯曲，并垂直于布里渊区界面；而在能带顶部附近，则是偏离抛物线向下弯曲，并垂直于布里渊区界面。从而在布里渊区边界出