复杂无标度网络的特性

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1、复杂网络的无标度特性上海理工大学管理学院、系统工程研究所张宁目录概率统计预备知识网络(图)的基本概念规则图和随机网Scale-free网络常用软件参考文献一、概率统计预备知识目录随机变量与分布函数（离散、连续）随机变量的数字特征（数学期望、方差）泊松分布幂函数指数函数随机变量与分布函数对某个随机试验，如果每次试验的结果可以用一个数X来表示，而且对任何实数k，X

2、定的概率，即，则称X是离散随机变量（或X是离散分布的），称为的概率分布，它满足下列条件：连续型分布若存在一个非负函数，使随机变量X的分布函数可以表示为则X称为连续随机变量（或X是连续分布的），称为随机变量X的概率密度。的性质随机变量的数字特征随机变量的数学期望定义1设x是离散型随机变量，它的概率函数是随机变量的数学期望，反映了随机变量取值的平均水平，即均值，是随机变量的算术平均。方差为随机变量的方差。方差是刻划随机变量取值离差程度的一个数。X的方差的算术平方根称为标准差(或均方差）若X是离散型随机变量，则方差为：泊松定理设随机变量Xn(n=0，1，2，…)服从二项分布，其分布律为其

3、中设为常数则泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0，1，2，…，而取各个可能值的概率为：若>0是常数，则称变量X服从参数为泊松分布，记为于是，x的数学期望为：即所以，X的方差和均方差分别为：指数函数对公式线性化，两边取对数得令则指数函数幂函数式中为实数。对公式线性化，两边取对数，得令，，得函数形式为：幂函数变量代换可在双对数坐标上得直线，二、网络(图)的基本概念中国教科网网络(图)的基本概念节点通常用来表示系统中的部件；边通常用来表示系统中部件之间的关系。网络(图)就是由节点与节点之间的关系构成的一张图。中国教科网拓扑结构网络（图）的基本概念关联与邻接度、平均度节点的度分布最

4、短路径与平均路径长度群系数网络(图)的基本概念aedcb有向图、无向图、不连通图网络(图)的基本概念节点的度分布是指网络（图）中度为的节点的概率随节点度的变化规律。网络(图)的基本概念最短路径就是从指定始点到指定终点的所有路径中总权最小的一条路经。平均路径长度是指所有点对之间的最短路径的算术平均值。网络(图)的基本概念集群系数(Clusteringcoefficient)反映网络的群集程度，定义为网络的平均度与网络规模之比。227755553311网络(图)的基本概念节点1到7之间的最短路13，平均路径长度5.47，平均度为3.4，集群系数为0.48。网络(图)的基本概念三、规则图

5、和随机图规则图的特征如果系统中节点及其与边的关系是固定的，每个节点都有相同的度数，就可以用规则图来表示这个系统。随机图的特征如果系统中节点及其与边的关系不确定，就只能用随机图来表示这个系统。规则图的特征平均度为3。随机图的特征节点确定，但边以概率任意连接。节点不确定，点边关系也不确定。随机图——节点19，边43平均度为2.42，集群系数为0.13。随机图——节点42，边118平均度为5.62，集群系数为0.133。四、Scale-free网络目录早期网络模型无标度Scale-free网络BA模型早期网络模型ER模型小世界模型ER模型Erdös和Rényi（ER）最早提出随机网络模型

6、并对模型进行了深入研究，他们是用概率统计方法研究随机图统计特性的创始人。在模型开始阶段给定N个节点，没有边，以概率p用边连接任意一对节点，用这样的方法产生一随机网络。ER模型Erdös和Rényi（1959）首先研究了在随机网络中最大和最小度的分布，Bollobás(1981)随后得到了所有度分布的形式，推导出度数为k的节点数遵从平均值为的泊松分布，即Connectwithprobabilitypp=1/6N=10k~1.5Poissondistribution小世界模型为了描述从一个局部有序系统到一个随机网络的转移过程，Watts和Strogatz（WS）提出了一个新模型，通

7、常称为小世界网络模型。WS模型始于一具有N个节点的一维网络，网络的节点与其最近的邻接点和次邻接点相连接，然后每条边以概率p重新连接。约束条件为节点间无重边，无自环。C(p):clusteringcoeff.L(p):averagepathlengthP(k)=0.1p(k)=0.3小世界模型当p等于0时，对应的网络规则图。两个节点间的平均距离线性地随N增长而增长，集群系数大。当p等于1时，系统变为随机图。对数地随N增长而增长，且集群系数随N减少而减少。在p