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《数学物理方法第4章留数定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4章留数定理包含奇点的积分如何求？1柯西(AugustinLouisCauchy,1789—1857)法国数学家、物理学家、天文学家他的父亲与Lagrange,Lapalce交往密切柯西极限，柯西不等式，柯西积分公式，柯西定理等（800篇论文）拉格朗日（Joseph-LouisLagrange，1736~1813）法国著名数学家、物理学家（拉格朗日中值定理，分析力学的创立者，天体力学的奠基者）拉普拉斯(Pierre-SimonLaplace,1749－1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家天体力学的主要奠基人、天体演化学的创立者之一，分析概率论的创始人
2、2§4.1.0复习柯西定理柯西公式3=?L逆时针+L0顺时针f(z)在除起点外解析4§4.1.1留数定理一、留数（残数，Residue,缩写Res）的定义5二、留数定理(柯西留数定理)式中它等于f(z)在bk的无心邻域的洛朗展开中的洛朗系数称为f(z)在bk处的留数,f(z)的洛朗展开为6证明其次,对于沿Lk的积分,由式(4.1.2)可得首先在内以各奇点为圆心,作小圆周L1,L2,L3,…,Lk,…分别包围各奇点,如图4.1所示.这样,由外边界线L0与内边界线L1,L2,L3,…,Lk,…为边界构成了复通区域.由复通区域的柯西定理，得将式(4.1.4)代入式(4
3、.1.3),并将代入,即有74.1.2、计算留数的方法89101112131415161718求在有限远奇点的留数。由(4.1.9)式可得例5解:f(z)分母的零点由确定,易见它是f(z)分母的一阶零点,也是f(z)的一阶极点19分别将k=0,1,2,3代入,可得20求在有限远奇点的留数。[例6]解:z=0是分子的一阶零点,又是分母的四阶零点,易见z=0是f(z)的三阶极点.在z=0的邻域展开分子为泰勒级数来求由此得21求在有限远奇点的留数。[例7]解:由分母为零易得z=-1是二阶极点,z=±2i是一阶极点,由(4.1.7)可得将上式2i换成-2i,即有22§4
4、.1.3无穷远点的留数与留数和定理23O图4.2242526【例8】求f(z)=在孤立奇点(包括无穷远点）处的留数．解z=b1是二阶极点，z=b2是一阶极点，得27由留数和定理，易得由于不存在z-1项，故Resf(∞)=-a-1(∞)=028§4.2用留数定理计算实变积分本节将利用留数定理计算五个基本类型的实变积分,在此基础上讨论在物理学中常用的几个积分。引理1若z在上半平面及实轴上趋于∞时,zf(z)一致地趋于零(与辐角无关，即则f(z)沿图2.3中无穷大半圆周CR的积分(4.2.2)30若z在上半平面及实轴上趋于∞时，f(z)一致地趋于零(与辐角无关)，即式
5、中m>0，CR是以原点为圆心、R为半径的上半圆周，参看图2.3.引理2(若当引理):则(4.2.3)31第四、五型积分的计算，要利用引理3，它指出f(z)沿图4.3的无穷小半圆周的积分结果。引理3若b是f(z)在实轴上的一阶极点，则证明由于b点是f(z)的一阶极点，因而在b的无心邻域中，f(z)的洛朗级数的最低次幂为(z-b)-1，即3233下面分别介绍五大类型积分的特征基本方法常用技巧34§4.2.1型积分1.积分的特征：被积函数是cosq,sinq的有理实函数；积分区间为[0,2p],如果不是，应先变为[0,2p]2.计算方法，首先作变换z=eiθ,把被积函
6、数变成复变函数35其次，把沿[0,2p]的积分变成沿单位圆的回路积分．利用留数定理可得即积分等于2pi乘函数在
7、z
8、=1圆内所有奇点处留数之和.36【例4.2.1】计算积分式中a>0解首先作变换q=2x,将积分区间化为[0,p]，再利用被积函数是偶函数，将积分区间化为[-p,p]37其次，令z=eiq，即可将对q的积分变为沿
9、z
10、=1的回路积分第三，被积函数有两个一阶极点z1,2=易见z1在
11、z
12、=1的回路内部,
13、z2
14、在回路外．38根据留数定理39§4.2.2f(x)dx型积分1.积分特征f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个①孤立奇点bk(k=1，2，
15、…，n)外解析；当z在上半平面及实轴上趋于∞时，zf(z)一致地趋于零(与辐角无关)其次，选择辅助函数f(z)。通常将f(x)的x改为z(有时也要改变函数形式，见例4.2.7.例4.2.8)40第三，选择积分与回路．当积分具有上述特征时，受引理1的启发，增加无穷大的半圆周CR，构成闭合回路L(图4.4).根据留数定理、积分主值的定义，以及引理1的结论则有41【例4.2.2】计算积分解(1)辅助函数．由于被积函数为偶函数，故令辅助函数(2)积分回路．42(3)按留数定理计算增加无穷大半圆周CR构成闭合(图4.5)43它在上半平面有无限多个极点bk=(2k+1)i，
16、k=0,1,⋯但这些留数
