北京大学数学物理方法(上)课件_7 留数定理及其应用.pdf

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1、7留数定理及其应用7.1留数留数若点a为函数f嬨z嬩的解析点嬬存在邻域jzaj

2、a1jzbj=r留数若b为f嬨z嬩的孤立奇点.定义函数f嬨z嬩在孤立奇点b的留数等于f嬨z嬩在b的空心邻域内Laurent展开式中嬨zb嬩1幂的系数a,记作孲孥孳f嬨b嬩.1孲孥孳f嬨b嬩嬽a1嬨嬱嬩留数定理H如果我们要计算一闭合围道积分f嬨z嬩孤z嬮假设闭合围道内部嬬被积函数除有限几个孤立奇点bk嬬Ck嬽嬱;嬲;:::;n外解析嬮2n1GC0根据复连通区域孃孡孵季孨孹定理嬬作小圆1嬬2嬬嬮嬮嬮嬬n将每个奇点包围嬬则IXnIXnf嬨z嬩孤z嬽f嬨z嬩孤z嬽嬲孩孲孥孳f嬨bk嬩Ck=1kk=1Theorem7.1

3、嬨留数定理嬩.设C为一简单闭合围道,G为C的内区域,若除G内有限个孤立奇点bk,k嬽嬱;嬲;:::;n外,函数在G内解析,则IXnf嬨z嬩孤z嬽嬲孩孲孥孳f嬨bk嬩嬨嬲嬩Ck=1嬱留数的计算求f嬨z嬩在奇点b处的留数嬬就是要求f嬨z嬩在z嬽b点的嬨不含b的嬩邻域内孌孡孵孲孥孮孴展开中嬨zb嬩1项的系数嬮若b为可去奇点嬬则孲孥孳f嬨b嬩嬽a1嬽嬰嬨嬳嬩所以嬬留数定理应用时嬬无需考虑可去奇点嬮若b为函数的极点嬱嬮一阶极点嬲嬮高阶极点嬳嬮本性奇点或高阶极点留数的计算嬱嬮一阶极点嬲嬮高阶极点嬳嬮本性奇点或高阶极点一阶极点在b

4、点的某一空心邻域内嬱f嬨z嬩嬽嬨z嬩嬨嬴嬩zb嬨z嬩在含中心b点的邻域内解析嬬嬨b嬩6嬽嬰嬮作孔孡孹孬孯孲展开X1嬨z嬩嬽嬨zb嬩nnn=0于是孲孥孳f嬨b嬩嬽0嬽嬨b嬩由连续性孲孥孳f嬨b嬩嬽孬孩孭嬨zb嬩f嬨z嬩嬨嬵嬩z!b特别常见的情况是P嬨z嬩f嬨z嬩嬽嬨嬶嬩Q嬨z嬩P嬨z嬩和Q嬨z嬩在b点及其邻域内解析嬬b是Q嬨z嬩的一阶零点嬬P嬨b嬩6嬽嬰嬮则P嬨z嬩zb孲孥孳f嬨b嬩嬽孬孩孭嬨zb嬩嬽P嬨b嬩
孬孩孭z!bQ嬨z嬩z!bQ嬨z嬩由孬嬧孈孯孳孰孩孴孡孬法则嬱P嬨b嬩孲孥孳f嬨b嬩嬽P嬨b嬩
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5、嬨嬷嬩Q0嬨b嬩Q0嬨b嬩嬲嬱Example7.1求在奇点处的留数.z2嬫嬱Solutionz嬽孩是它的一阶极点嬬且为分母z2嬫嬱的一阶零点嬮所以嬱孩孲孥孳f嬨孩嬩嬽嬽嬲z嬲z=i孥iaz孥ibzExample7.2求在奇点处的留数.z2Solutionz嬽嬰是它的一阶极点嬬但是分母的二阶零点嬨分子的一阶零点嬩嬮由一阶极点留数普遍公式嬨嬵嬩孥iaz孥ibz孥iaz孥ibz孲孥孳f嬨嬰嬩嬽孬孩孭z嬽孬孩孭z!0z2z!0z由孬嬧孈孯孳孰孩孴孡孬法则孩a孥iaz孩b孥ibz嬽嬽孩嬨ab嬩嬱z=0高阶极点设z嬽b

6、是f嬨z嬩的m阶极点f嬨z嬩嬽嬨zb嬩m嬨z嬩嬨z嬩在b的某个邻域内解析X1嬨z嬩嬽嬨zb嬩nnn=0嬨b嬩6嬽嬰嬮则嬱(m1)孲孥孳f嬨b嬩嬽m1嬽嬨b嬩嬨m嬱嬩嬡将b换成极限z!b嬱孤m1孲孥孳f嬨b嬩嬽孬孩孭孛嬨zb嬩mf嬨z嬩孝嬨嬸嬩嬨m嬱嬩嬡z!b孤zm1嬱Example7.3求在奇点处的留数.嬨z2嬫嬱嬩3Solutionz嬽孩是它的三阶极点嬬m嬽嬳嬱孤2嬱孲孥孳f嬨孩嬩嬽嬨zi嬩3嬲嬡孤z2嬨z2嬫嬱嬩3z=i嬱孤2嬱嬽嬲嬡孤z2嬨z孩嬩3z=i嬱5嬽嬨嬳嬩嬨

7、嬴嬩嬨z孩嬩jz=i嬲嬡嬳嬽孩嬱嬶嬳本性奇点或高阶极点对于本性奇点时只能是求孌孡孵孲孥孮孴展开系数a1嬮对于高阶极点嬬很多情况下求展开系数往往比用高阶极点的留数公式嬨嬸嬩简单嬮对于m阶极点即求嬨z嬩嬽嬨zb嬩mf嬨z嬩的孔孡孹孬孯孲展开系数嬮m1我们可用第嬵章介绍的各种求展开系数方法嬮Example7.4函数孥izf嬨z嬩嬽z嬨z2嬫嬱嬩2Solution函数在z嬽孩有二阶极点嬮这时孥iz孥iz嬨z嬩嬽嬨z孩嬩2嬽z嬨z2嬫嬱嬩2z嬨z嬫孩嬩2要求m嬱嬽嬱次项的系数1嬮用待定系数法嬬令z孩嬽tX1X1孩

8、n嬨t嬫孩嬩嬨t嬫嬲孩嬩2tn嬽孥i(t+i)嬽孥1tnnn嬡n=0n=0即X1X1孩n嬨嬴孩嬸t嬫:::嬩tn嬽孥1tnnn嬡n=0n=0先比较两边嬰次项系数嬴孩嬽孥10得嬽i嬮再比较两边嬱次项系数04e孩嬴孩1嬸0嬽孥得嬽3嬮所以14e嬳孲孥孳f嬨孩嬩嬽嬴孥Exam