2018年秋高中数学 平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例学案

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1、2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例学习目标:1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.(重点)2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.(重点)3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力.(难点)[自主预习·探新知]1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.向量在物理中的应用:(1

2、)物理问题中常见的向量有力,速度,加速度,位移等.(2)向量的加减法运算体现在力,速度,加速度,位移的合成与分解.(3)动量mv是向量的数乘运算.(4)功是力F与所产生的位移s的数量积.[基础自测]1.思考辨析(1)若△ABC是直角三角形,则有·=0.(  )(2)若∥,则直线AB与CD平行.(  )(3)用力F推动一物体水平运动sm,则力F对物体所做的功为

3、F

4、

5、s

6、.(  )[解析] (1)错误.因为△ABC为直角三角形,∠B并不一定是直角,有可能是∠A或∠C为直角.(2)错误.向量∥时,直线AB∥CD或AB与CD重合.(3)错误.力F对物体所做的功为F·s.[答

7、案] (1)× (2)× (3)×2.已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W=________J.300 [W=F·s=6×100×cos60°=300(J).]3.设M是线段BC的中点,点A在直线BC外,

8、

9、=16,

10、+

11、=

12、-

13、,则

14、

15、=________.2 [∵

16、+

17、=

18、-

19、,∴·=0,⊥,∴△ABC是直角三角形,BC为斜边,∴

20、

21、=

22、

23、=×4=2.][合作探究·攻重难]向量在平面几何中的应用 (1)已知非零向量与满足·=0且·=,则△ABC的形状是(  )A.三边均不相等的三角形  B.直角

24、三角形C.等腰三角形D.等边三角形(2)已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为AB的中点,点F在BC上,且BF∶FC=2∶1,AF与EC相交于点P,求四边形APCD的面积.[思路探究] (1)先由平行四边形法则分析+的几何意义,由数量积为0推出垂直关系,再由·=求∠BAC,最后判断△ABC的形状.(2)先建系设点P坐标,再根据A,P,F和C,P,E分别共线求点P坐标,最后求四边形APCD的面积.(1)C [(1)由·=0,得∠A的平分线垂直于BC,所以AB=AC,设,的夹角为θ,而·=cosθ=,又θ∈[0,π],所以∠BAC=π-=π,故△ABC为等腰三角形.(

25、2)以A为坐标原点,AB为x轴AD为y轴建立直角坐标系,如图所示,∴A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6),F(6,4),E(3,0),设P(x,y),=(x,y),=(6,4),=(x-3,y),=(3,6).由点A,P,F和点C,P,E分别共线,得∴∴S四边形APCD=S正方形ABCD-S△AEP-S△CEB=36-×3×3-×3×6=.]母题探究:1.将本例1(1)的条件改为(-)·(+-2)=0,试判断△ABC的形状.[解] ∵(-)·(+-2)=0,∴(-)·(-+-)=0,∴·(+)=0,∴(-)·(+)=0,∴-=0,即

26、

27、2-

28、

29、2=0

30、,所以

31、

32、=

33、

34、,∴△ABC是等腰三角形.2.将本例1(2)的条件“BF∶FC=2∶1”改为“BF∶FC=1∶1”,求证:AF⊥DE.[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6),则中点E(3,0),F(6,3),∴=(6,3),=(3,-6),∴·=6×3+3×(-6)=0,∴⊥,∴AF⊥DE.[规律方法] (1)向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法:法一:①选择一组向量作基底;②用基底表示和;③证明·的值为0;④给出几何结论AB⊥CD.法二:先求,的坐标,=(x1,y1),=(x2,y2),再计算·的值为0,从而

35、得到几何结论AB⊥CD.(2)用向量法证明平面几何中AB∥CD的方法:法一:①选择一组向量作基底;②用基底表示和);③寻找实数λ,使=λ,即∥;④给出几何结论AB∥CD.法二:先求,的坐标,=(x1,y1),=(x2,y2).利用向量共线的坐标关系x1y2-x2y1=0得到∥,再给出几何结论AB∥CD.,以上两种方法,都是建立在A,B,C,D中任意三点都不共线的基础上,才有∥得到AB∥CD.向量在解析几何中的应用 已知点A(1,0),直线l:y=2x-6,点R是直线l上的一点,若=2,求点P的轨迹方程.【导学号:84352265】[思路探究] →→→

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