高中数学推理与证明6.2直接证明与间接证明6.2.1直接证明：分析法与综合法分层训练湘教版

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1、6．2.1　直接证明：分析法与综合法一、基础达标1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)A．若a>b，则ac2>bc2B．若>，则a>bC．若a3>b3且ab<0，则>D．若a2>b2且ab>0，则<答案　C解析　对于A：若c＝0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B错；对于C：若a3>b3且ab<0，则，所以>，故C对；对于D：若，则D不成立．2．A、B为△ABC的内角，A>B是sinA>sinB的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件答案　C解析　

2、由正弦定理＝，又A、B为三角形的内角，∴sinA>0，sinB>0，∴sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B.3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4答案　B解析　若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；若l⊥

3、α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．4．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)A．1≤ab≤B．ab<1ab.又因为a＋b＝2>2，故ab<1，＝＝2－ab>1，即>1>ab.5．要证明＋<2，可选择的方法有很多，最合理的应为________．答案　分析法6．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．答案　a>c>b解析　∵a2－c2＝2－(8－4)＝4－6＝－>0，∴a>c.∵＝＝＞1，∴c＞b.7．设a≥b>

4、0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明　法一　3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.法二　要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0，3a2－2b2>2a2－2b2≥0，∴上式成立．二、能力提升8．设0

5、1，则a＝x，b＝1＋x，c＝中最大的一个是(　　)A．aB．bC．cD．不能确定答案　C解析　∵b－c＝(1＋x)－＝＝－<0，∴bx＝a，∴a0B．ab<0C．a>0，b<0D．a>0，b>0答案　C解析　∵与同号，由＋≤－2，知<0，<0，即ab<0.又若ab<0，则<0，<0.∴＋＝－≤－2＝－2，综上，ab<0是＋≤－2成立的充要条件，∴a>0，b<0是＋≤－2成立的一个充分而不必要条件．10

6、.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案　对角线互相垂直解析　本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．11．已知a＞0，－＞1.求证：＞.证明　要证＞成立，只需证1＋a＞，只需证(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即1－b＋a－ab＞1，∴a－b＞ab，只

7、需证：＞1，即－＞1.由已知a＞0，－＞1成立，∴＞成立．12．求证抛物线y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．证明　如图，作AA′、BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线．要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证

8、MM′

9、＝

10、AB

11、由抛物线的定义：

12、AA′

13、＝

14、AF

15、，

16、BB′

17、＝

18、BF

19、，所以

20、AB

21、＝

22、AA′

23、＋

24、BB′

25、，因此只需证

26、MM′

27、＝(

28、AA′

29、＋

30、BB′

31、)，根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．三、探究与创新13．(2013·

32、广东)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.(1)解　当n＝1时，＝2a1＝a2－－1－＝2，解得a2＝4.(2)解　2Sn＝nan＋1－n3－n2－n①当n≥2时，2S