2.4旋转变换旋转变换 例题

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1、利用图形的旋转变换解题举例泰州市二中附中姚永前陈秀娟这一轮课程改革，对几何作了较大幅度的调整，印象较深之一是加强了“几何变换”的内容，即从变换的角度去认识传统几何中的证题术。初中几何涉及的变换主要有平移、对称和旋转，本文从“旋转”这一角度举些例子，供大家参考。我们知道，图形的旋转变换不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置，故解题时可充分利用图形的旋转变换的这一特点，把图形位置进行改变，从而达到优化图形结构，进一步整合图形〔题设〕信息的目的，使较为复杂的问题得以顺利求解。例1、如图〔1〕分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆，若正方形的边长为,求阴影部分的面积。解：连AC、BD如右图，

2、则绕AD中点将图中②逆时针旋转到图中③，将图中①绕AB中点顺时针方向旋转到图中④，则原图中阴影部分的面积就和△DBC的面积相等，所以图中阴影部分的面积=S⊿DCB=S正方形ABCD=。这里我们用旋转变换的方法改变了图中①和②的位置，从而顺利地完成了计算。例2、如图⑵所示，在⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=，D是BC上任一点，试说明。证法一（非旋转法）：过A点作AE⊥BC于E，如图⑶,则容易证明AE=BE=EC，又BD=BE－DE，DC=CE+DE，所以，，所以=+=，而在直角三角形ADE中,存在，所以，这是传统的证明方法。本题考虑到BD、DC、AD三线段分散在两个三角形中,而且构成平方和的条

3、件不明显,若利用旋转变换,将BD、DC放到一个三角形中,若这个三角形是直角三角形,则创造就更能接近所证的目标了.证法二(旋转法):将△ADC绕A点顺时针方向旋转到△AEB,如图⑷,连DE,易知△ADE、△DBE均为直角三角形,且AE=AD,BE=DC,所以在Rt△EBD中有，在Rt△AED中有，所以。例3、如图⑸所示,P为正方形内一点,且PA=1,BP=2,PC=3,求∠APB的大小解:如图（6），将⊿BPC绕B点逆时针旋转到△BEA,连EP易知∠PBE=且AE=PC=3BE=BP=2，在Rt⊿BEP中，，且∠EPB=，在⊿AEP中，又，所以△APE是直角三角形，即∠APE=，∠APB=∠AP

4、E+∠EPB=+=，即∠APB为。传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。如图（7），正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数。将△CDQ绕C点逆时针旋转90°像图（8）那样，立刻可得QA+AB+BE=2，由△APQ周长为2得PQ=PE，进一步可得△CPQ≌△CPE，∠PCQ=∠PCE，又∠QCE=90°，所以∠PCQ=45°。又如图（9），△ABC中，AB=AC，P为三角形内一点，且∠APB＞∠APC，求证：PC＞PB。将△APB绕A点逆时针旋转成右图那样，不难得到条件∠APB＞∠APC变成了∠PQC＞∠QPC，从而PC

5、＞CQ，由旋转关系，PC＞PB。最能体现旋转法的莫过于下面这个问题了：如图（10），四边形ABCD中，AB=AD，∠A=∠C=90°，其面积为16，求A到BC的距离。通过旋转变换，将图（10）变成图（11），答案可以脱口而出：距离为4！类似的例子可以举出许多，这里不再赘述。综上可见，正确利用图形的旋转变换可大大提高解题效率，不过在使用这一方法解题时还需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，故这种方法一般常用于等腰三角形，正方形图形中。