平面向量的数量积及平面向量应用举例1

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1、第3讲平面向量的数量积及平面向量应用举例1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(课本P107①由力做功的计算理解数量积的物理意义;课本P108②两个

2、向量的夹角及范围;区分向量a在向量b方向上的正射影的数量与向量b在向量a方向上的正射影的数量。③向量数量积定义)3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(课本P110①注意数量积运算律不满足结合律即(a·b)·c=a·(b·c)(×)课本P112②向量数量积有关的坐标运算公式③看一下例1例2例3例4)完成《三维设计》的理要点与究疑点(以上内容的复习必须在20分钟内完成)5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

3、6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.平面向量的数量积向量数量积(内积)的坐标运算a=(a1,a2),b=(b1,b2)①a·b=;②a⊥b⇔;③

4、a

5、=,

6、b

7、=;④设A(x1,y1),B(x2,y2).则=,

8、

9、=.a1b1+a2b2a1b1+a2b2=0(x2-x1,y2-y1)[思考探究1]在△ABC中,设=a,=b,则a与b的夹角为∠ABC吗?提示:不是.求两向量的夹角时,两向量的起点应相同,向量a与b的夹角为π-∠ABC.[思考探究2]若a∥b,则a与b的数量积有何特点?提

10、示:若a∥b,则a与b的夹角为0°或180°,∴a·b=

11、a

12、

13、b

14、或a·b=-

15、a

16、

17、b

18、.[思考探究3]向量的数量积是一个数量,它的符号是怎样确定的?答案:当a,b为非零向量时,a·b的符号由夹角的余弦来确定;当0°≤θ<90°时,a·b>0;当90°<θ≤180°时,a·b<0;当a与b至少有一个为零向量或θ=90°时,a·b=0.联动体验1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为()解析:设a和b的夹角为θ,

19、a

20、cosθ=

21、a

22、=答案:C2.(2010·新课标全国卷)a,b

23、为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于()解析:设b=(x,y),则有2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),解得b=(-5,12),故cos〈a,b〉=答案:C3.设向量a和b的长度分别为4和3,夹角为60°,则

24、a+b

25、的值为()解析:

26、a+b

27、2=a2+2a·b+

28、b

29、2=a2+2

30、a

31、

32、b

33、cos60°+

34、b

35、2=16+2×4×3×+9=37∴

36、a+b

37、=.答案:C4.向量m=(x-5,1),n=(4,x),m⊥n,则x等于()A.1B.2C.3D

38、.4解析:由m·n=0,得4(x-5)+x=0,∴x=4.答案:D5.已知向量a和向量b的夹角为30°,

39、a

40、=2,

41、b

42、=,则向量a和向量b的数量积a·b=________.答案:3【例1】(1)在直角三角形ABC中,C=90°,AB=5,AC=4,求;(2)若a=(3,-4),b=(2,1),试求(a-2b)·(2a+3b).解:(1)在△ABC中,C=90°,AB=5,AC=4,故BC=3,且cos∠ABC=,的夹角θ=π-∠ABC,cos∠ABC=-5×3×=-9.(2)方法一:a-2b=(3

43、,-4)-2(2,1)=(-1,-6),2a+3b=2(3,-4)+3(2,1)=(12,-5),(a-2b)·(2a+3b)=(-1)×12+(-6)×(-5)=18.方法二:(a-2b)·(2a+3b)=2a2-a·b-6b2=2[32+(-4)2]-[3×2+(-4)×1]-6(22+12)=18.考向一 平面向量的数量积的运算反思感悟:善于总结,养成习惯平面向量的数量积的运算有两种形式,一是依据长度与夹角,二是利用坐标来计算,具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.迁移发散1.已知A(3,0)

44、,B(0,3),C(cosα,sinα).若=-1,求sin2α的值.解:=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),=cosα(cosα-3)+sinα(sinα-3)=1-3(cosα+sinα)=-1.∴sinα+cosα=,两边平方得sin2α=-.考向二 利用平面向量的数量积解决垂直问题【例2】已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t为正实数,向量x=a+(t2+1)b,y=-ka+b,且x⊥y,求k的最小值.解:∵a=

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