平面向量的数量积及平面向量应用举例(III)

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1、第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例平面向量的数量积与向量的模已知

2、a

3、＝2，

4、b

5、＝3，a，b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)；(3)(2a－b)·(a＋3b)；(4)

6、a＋b

7、.解分析用数量积和模的定义以及运算性质，逐题计算．规律总结(1)向量的数量积的运算结果是一个数量，平面向量的数量积运算类似多项式的乘法．(2)利用数量积求模问题是数量积的重要应用，根据实际合理选择以下公式：①②③变式训练1已知点A(6,1)、B(1,3)、C(3,1)，则向量在向量方向上的投影是________．【解析】【答案】平面向量的数量积与两向量

8、的夹角已知

9、a

10、＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：(1)a与b的夹角；(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．分析先求出

11、b

12、，

13、a－b

14、和

15、a＋b

16、的值，再运用夹角公式即可求出．解规律总结求两向量的夹角的余弦值需要求两向量的数量积和两向量的模，由此我们可进一步体会到向量的夹角、向量的模和向量的数量积的关系．变式训练２已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosφ，sinφ)，且a与b之间满足关系

17、ka＋b

18、＝

19、a－kb

20、，其中k∈R且k＞0.(1)用k表示a·b；(2)求a·b的最小值，并求此时a与b夹角θ的大小．【解析】又0°≤θ

21、≤180°，所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.平面向量的数量积与向量垂直已知

22、a

23、＝4，

24、b

25、＝8，a与b的夹角是120°，k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?分析向量垂直的充要条件可得(a＋2b)·(ka－b)＝0，可得含k的方程组，则问题可解解规律总结(1)非零向量a·b＝0⇔a⊥b是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关垂直的问题十分有效，应熟练掌握．(2)若a＝，b＝，则a⊥b⇔.变式训练３(精选考题·浙江高考·改编)已知平面向量α，β，

26、α

27、＝1，

28、β

29、＝2，α⊥(α－2β)，则

30、2α＋β

31、＝________.．【解

32、析】【答案】平面向量的综合应用问题(12分)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由分析1)联立直线与椭圆方程，整理成关于x的一元二次方程，由于直线与椭圆有两个不同的交点，则Δ>0.(2)根据向量共线规律，转化为A，B的坐标关系．①...3分由方程①得②………..7分③...8分将②③代入上式，解得...10分规律总结新课标强调向量的工具性，要求加

33、强向量与三角函数、函数、解析几何等知识的联系，因此，把各知识综合起来的问题必将是高考的趋势．在解决这类问题时应分清层次，明确向量在综合问题中的作用，把复杂问题分解为多个简单问题来解决．变式训练４【解析】3.a、b的夹角是锐角⇒a·b>0且a、b不同向．4.a、b的夹角是钝角⇒a·b<0且a、b不反向．5.a·b＝a·c⇒a·(b－c)＝0但一般不能得到b＝c.6.(a·b)c与a(b·c)一般不相等．7.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：已知两定点A(1,1)，B(1,5)，点P在直线l：y＝2x＋1上，求使得∠APB为钝角的P点的横坐

34、标的取值范围．错解详见Word文档“课时作业”