矩阵的秩与矩阵的运算

矩阵的秩与矩阵的运算

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1、矩阵的秩与矩阵的运算1.(武汉大学,2005)设E是n阶单位矩阵,证明;2(1)设A,B是n阶矩阵,A=A,且E–A–B是可逆矩阵,则rank(AB)=rank(BA);2T(2)若A=E–ξξ,其中ξ是n维列向量,是ξ的转置,则ξξ=1的充分必要条件是rank(A)

2、要性假定rank(A)=n,则A是可逆矩阵,由ξξ=1,则ξξ不是n阶零矩阵。TTTTTTAEξξ=−()ξξξξ=−ξξξξξξ()=0T那么ξξ=0,矛盾。于是rank(A)

3、αα≠0另一方面TTTTTα(A+A)α=αAα+αAα=0矛盾。所以A可逆。2.(大连理工大学,2001)设A为n阶方阵,证明:k−1kk−1(1)如果Aα≠0但Aα=0,则α,Aα,…,Aα(k>0)线性无关。n+1n(2)秩(A)=秩A。2证明:(1)令A=A(I)k−1k−1用A左乘等式两边,那么由Aα≠0,于是x=0,式(I)变成021k−xA(αα)++xA()...+xA(α)=012k−1k−2k−1用A左乘等式两边,则xA()α=0,得x=0.11k−1类似地可以证明xx===L0,所以α,Aα,LAα线性无关。21k−n+

4、1nn+1nn+1(2)假定秩(A)≠秩(A),那么秩(A)<秩(A)。于是AX=0的解不nnn+1全是AX=0的解,则存在非零的n维列向量β,使Aβ≠0,但Aβ=0。n由式(I)可知β,Aβ,L,Aβ线性无关;矛盾,所以n+1n秩(A)=秩(A)3.(北京师范大学,2006)A,B是n阶矩阵,证明:(1)秩;(A−ABA)=秩(I−BA)−nn22(2)若A+B=I,且秩A+秩B=n,则A=A,B=B,且AB=0=BA。n⎛InBA⎞⎛InBA⎞⎛In0⎞证明:(1)构造分块矩阵⎜⎜⎟⎟→⎜⎜⎟⎟→⎜⎜⎟⎟⎝AA⎠⎝0A−ABA⎠⎝0A−A

5、BA⎠⎛InBA⎞⎛In−BA0⎞⎛In−BA0⎞另一方面⎜⎜⎟⎟→⎜⎜⎟⎟→⎜⎜⎟⎟⎝AA⎠⎝AA⎠⎝0A⎠于是n+秩(A−ABA)=秩A+秩(I−BA)n秩(A−ABA)=秩A+秩(I−BA)-nn(2)构造分块矩阵由A+B=I,可知n⎛A0⎞⎛AB⎞⎛A+BB⎞⎛InB⎞⎛InB⎞⎛In0⎞⎜⎟→⎜⎟→⎜⎟=⎜⎟→⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜2⎟⎜2⎟⎝0B⎠⎝0B⎠⎝BB⎠⎝BB⎠⎝0B−B⎠⎝0B−B⎠2那么R()+()=+(ARBnRBBn−)=2于是B=B2由A与B的对称性知,AA=。⎛⎞AO⎛⎞IBnn⎛IB⎞⎛⎞IBn⎛⎞I

6、Bn⎛InO⎞⎜⎟→→⎜⎟⎜⎟=⎜⎟→→⎜⎟⎜⎟⎝⎠OB⎝⎠BB⎝ABBA++B⎠⎝⎠IBA+B⎝⎠OAB⎝OAB⎠n于是R()+()=+(ARAnRABn)=于是ABO=由A与B的对称性知ABO=。⎛100⎞⎜⎟4.(中山大学,2004)设A=⎜101⎟⎜⎟⎝010⎠nn−12(1)证明:A=A+A−E100(2)求A证明:(1)用数学归纳法证明当n=2时结论显然成立,当n=3时,⎛100⎞⎛100⎞⎜⎟⎜⎟23A=⎜110⎟,A=⎜210⎟⎜⎟⎜⎟⎝101⎠⎝110⎠于是⎛100⎞⎛100⎞⎛100⎞⎛100⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟23A+A−

7、E=⎜101⎟+⎜110⎟−⎜010⎟=⎜210⎟=A⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝010⎠⎝101⎠⎝001⎠⎝110⎠假定小于n时结论成立,那么nn−1n−32n−23n−22A=A⋅A=A(A+A−E)=A+A−A=A+A−E3232(2)由A−A−A+E=0,令g(x)=x−x−x+1,则⎧abc++=1⎪⎨abc−+=1⎪⎩2ab+=100解得a=50,b=0,c=-49,将以上a,b,c代入式(1)⎛100⎞⎜⎟1002A=50A+49E=⎜5010⎟⎜⎟⎝5001⎠⎛IkA12⎞5.(中国科技大学,2007)(1)设n阶矩阵A=⎜⎟⎜⎟AA

8、⎝2122⎠其中I是n阶单位矩阵,A是n-k阶矩阵,证明k≤rankΑ≤n,k22其中rankA是的秩。并证明rankA=k的充要条件是A=A+A222112(2)

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