向量组与矩阵的秩

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1、华南农业大学理学院应用数学系线性代数多媒体教学课件LinearAlgebra9/16/20211Spring2010,17ppt第2.3节向量组与矩阵的秩如何判断向量组是否线性相关？9/16/20212Spring2010,17ppt9/16/20213Spring2010,17ppt定义2.6矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩(rank),记为R(A).则称A为满秩矩阵;否则，称A为降秩矩阵.另外，零矩阵的秩为0.对n阶方阵,如果9/16/20214Spring2010,17ppt如

2、果矩阵A中有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶子式都为0，则矩阵A的秩等于r.例求矩阵的秩解在A中，容易看出一个2阶子式A的三阶子式只有一个经计算可知因此R（A）=2。9/16/20215Spring2010,17ppt推论2.1任意m(m>n)个n维向量线性相关.（注：由于没有m阶子式，故R(A)

3、D的两个向量定理2.5矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r个行向量线性无关，且任意r+1个行向量（如果存在）线性相关。9/16/20219Spring2010,17ppt有没有更简单的方法来计算矩阵的秩？实际上我们有：矩阵的初等变换并不改变矩阵的秩，因为初等变换不改变行列式是否为零的性质。因此，可以将矩阵通过初等变换先化成行阶梯型矩阵，就可较快求出矩阵的秩。9/16/202110Spring2010,17ppt定义2.79/16/202111Spring2010,17ppt例如9/16/2021

4、12Spring2010,17ppt定义：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元1所在列的其它元素都为零的行阶梯型矩阵称为行最简矩阵。9/16/202113Spring2010,17ppt例2.6计算前面矩阵A的秩.解：对系数矩阵A进行初等行变换：容易看出上述行阶梯形矩阵的秩等于2,因此R(A)=2.定理2.6矩阵A的秩等于A经过初等行变换所得行阶梯形矩阵的非零行的行数。9/16/202114Spring2010,17ppt定义2.8设有向量组T,如果:9/16/202115Spring2010

5、,17ppt9/16/202116Spring2010,17ppt9/16/202117Spring2010,17ppt9/16/202118Spring2010,17ppt定理2.8设有向量组T,如果：一个向量组的最大无关组一般不是唯一的，但由引理2.1可以保证它们都含有相同个数的向量.9/16/202119Spring2010,17ppt练习1.9/16/202120Spring2010,17ppt2.设矩阵求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示

6、。解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。9/16/202121Spring2010,17ppt而三个非零行向量的非零首元在1、2、4三列，故a1,a2,a4为列向量组的一个最大无关组。知R(A)=3,故列向量组的最大无关组含3个向量。这是因为9/16/202122Spring2010,17ppt线性表示，把A再变成行最简形矩阵。9/16/202123Spring2010,17ppt3.求A的列向量组的一个最大无关组及A的其余列向量用它们线性表示的表达式。解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。唯一

7、)。且有：为A的列向量组的一个最大无关组(不9/16/202124Spring2010,17ppt作业P722.2:(1);2.8;2.9(3)9/16/202125Spring2010,17ppt